Do A thuộc \(d_1\) nên tọa độ có dạng \(A\left(a;4\right)\)
B thuộc \(d_2\) nên tọa độ dạng \(B\left(b;\dfrac{-b+6}{2}\right)\), tương tự \(C\left(c;\dfrac{10c-6}{3}\right)\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(c-a;\dfrac{10c-18}{3}\right)\)
AC vuông góc \(d_2\Rightarrow\dfrac{10c-18}{3}=2\left(c-a\right)\Rightarrow3a+2c=9\) (1)
Gọi D là trung điểm AB \(\Rightarrow D\left(\dfrac{a+b}{2};\dfrac{-b+14}{4}\right)\)
D thuộc \(d_3\Rightarrow10\left(\dfrac{a+b}{2}\right)-3\left(\dfrac{-b+14}{4}\right)-6=0\)
\(\Rightarrow20a+23b=66\) (2)
Gọi E là trung điểm AC \(\Rightarrow E\left(\dfrac{a+c}{2};\dfrac{5c+3}{3}\right)\)
Theo giả thiết \(AC=2AB\Leftrightarrow AE=AB\Rightarrow\Delta ABE\) cân tại A
\(\Rightarrow d_1\) là phân giác đồng thời là trung tuyến tam giác ABE
\(\Rightarrow\) Trung điểm G của BE thuộc \(d_1\)
\(y_G=4=\dfrac{y_B+y_E}{2}=\dfrac{\dfrac{-b+6}{2}+\dfrac{5c+3}{3}}{2}=\dfrac{-3b+10c+24}{12}\)
\(\Rightarrow-3b+10c=24\) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+2c=9\\20a+23b=66\\-3b+10c=24\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=6\)
