Bài 2:
a: ΔAHC vuông tại H
=>\(HC^2+HA^2=AC^2\)
=>\(AC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)
=>AC=15(cm)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\)
=>\(AN=\frac{12^2}{15}=\frac{144}{15}=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: Xét ΔBHA vuông tại H có \(\cot B=\frac{BH}{HA}\)
=>\(BH=AH\cdot\cot B\)
Xét ΔCHA vuông tại H có \(\cot C=\frac{CH}{HA}\)
=>\(CH=HA\cdot\cot C\)
Ta có: BH+CH=BC
=>\(AH\left(\cot B+\cot C\right)=BC\)
=>\(AH=\frac{BC}{\cot B+\cot C}\)
Bài 3:
a: ΔABD vuông tại A
=>\(AD^2+AB^2=BD^2\)
=>\(BD^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)
=>BD=10(cm)
Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BD=AB\cdot AD\)
=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)
=>\(AH=\frac{48}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BD=BA^2\)
=>\(BH=\frac{8^2}{10}=6,4\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: Xét ΔABD vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BD=BA^2\) (2)
Xét ΔABE vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AE=AB^2\) (1)
Từ (1),(2) suy ra \(BH\cdot BD=AH\cdot AE\)
c: Xét ΔAHD vuông tại H có \(\cot ADH=\frac{DH}{AH}\)
=>\(DH=AH\cdot\cot ADH\)
Xét ΔABH vuông tại H có \(\cot ABH=\frac{HB}{HA}\)
=>\(HB=HA\cdot\cot ABH\)
Ta có: DH+HB=DB
=>DB=AH(cotADH+cotABH)
Bài 4:
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AC^2=20^2-12^2=400-144=256=16^2\)
=>AC=16(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
=>\(AH\cdot20=12\cdot16=192\)
=>\(AH=\frac{192}{20}=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=BA^2\)
=>\(BH=\frac{12^2}{20}=7,2\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
c: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>MN=AH(3)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HB\cdot HC=AH^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(HB\cdot HC=MN^2\)
Bài 5:
Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có
\(\hat{DAB}\) chung
Do đó: ΔADB~ΔAEC
=>\(\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)
=>\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
Xét ΔADB vuông tại D có cos DAB\(=\frac{AD}{AB}\)
Xét ΔADE và ΔABC có
\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
góc DAE chung
Do đó: ΔADE~ΔABC
=>\(\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=cos^2BAC\)
=>\(S_{ADE}=S_{ABC}\cdot cos^2BAC\)
