a) Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
=> \(AM=BM=CM\)
=> Tam giác MAB cân tại M và tam giác MAC cân tại M
mà \(\left\{{}\begin{matrix}MD\perp AB\\ME\perp AC\end{matrix}\right.\)
=> D, E lần lượt là trung điểm AB; AC
b) Ta có: ME//AB
Áp dụng định lí ta-lét=> \(\dfrac{ME}{AB}=\dfrac{EC}{AC}\)\(\Rightarrow\dfrac{ME}{2BD}=\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow ME=BD\)
Xét tứ giác BMED có: \(\left\{{}\begin{matrix}ME=BD\\ME//BD\end{matrix}\right.\)⇒BMED là h.b.h
c) Xét tam giác CAB và EKM có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=\widehat{K}=90^o\\\widehat{EMK}=\widehat{ABC}\left(\text{đồng vị}\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta CAB\sim AEKM\left(g.g\right)\)
=> \(\dfrac{MK}{EK}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{NE}{AC}\left(\text{BNEA là h.c.n}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MK}{NE}=\dfrac{EK}{AC}\)\(\Rightarrow\dfrac{MK}{2MN}=\dfrac{EK}{2AE}\)\(\Rightarrow\dfrac{MK}{MN}=\dfrac{EK}{AE}\)
Mặt khác: \(\widehat{KEC}=\widehat{ABC}=\widehat{NMB}\)
=> \(\widehat{NMK}=\widehat{AEK}\)
Xét tam giác NMK và tam giác AEK có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{NMK}=\widehat{AEK}\\\dfrac{MK}{MN}=\dfrac{EK}{AE}\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta NMK\sim\Delta AEK\left(c.g.c\right)\)
=> \(\widehat{NKB}=\widehat{AKE}\)
Ta có: \(\widehat{AKE}+\widehat{BKA}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NKB}+\widehat{BKA}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AKN}=90^o\Rightarrow AK\perp NK\left(đpcm\right)\)
