Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$P=(x+1)^2+\frac{2}{x+1}$
$=\frac{(x+1)^2}{8}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}+\frac{7(x+1)^2}{8}$
$\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x+1)^2}{8}.\frac{1}{x+1}.\frac{1}{x+1}}+\frac{7(1+1)^2}{8}$
$=\frac{3}{2}+\frac{7}{2}=5$
Vậy $P_{\min}=5$ khi $x=1$
@MâySadGirl: Việc tách ra vậy dựa vào việc chọn điểm rơi.
Trong bài toán này bạn đoán được điểm rơi là tại $x=1$
Biểu thức đã cho có $(x+1)^2$ và $\frac{2}{x+1}$ nên bạn suy nghĩ đến việc áp dụng BĐT Cô-si để triệt tiêu $x+1$.
Vì 1 bên là mũ 2: $(x+1)^2$ và 1 bên là $\frac{2}{x+1}$ nên ta nghĩ đến việc tách $\frac{2}{x+1}$ ra 2 lần, tức là $\frac{1}{x+1}$
Với $x=1$ thì $\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}$ nên buộc ta phải ghép với 1 phân thức $k(x+1)^2=\frac{1}{2}$. Với $x=1$ thì $k=\frac{1}{8}$
Đó là lý do tách $(x+1)^2$ thành $\frac{7}{8}(x+1)^2$ và $\frac{1}{8}(x+1)^2$
`P=(x+1)^2+2/(x+1)=(x+1)^2+8/(x+1)+8/(x+1)-14/(x+1)>=3\root[3]{(x+1)^2 . 8/(x+1) . 8/(x+1)}-7=5`
Dấu bằng xảy ra `<=>x=1`
Cách tách:
Ta dự đón dấu bằng khi `x=1,` khi đó:
`(x+1)^2=4`
Mục tiêu côsi là `A=B` nên `4=k/(x+1)=>k=8`
mà `(x+1)^2` có số mũ 2 nên ta cộng với `16/(x+1)`
