Question

Answer 1

Lời giải:

Đặt $f(x)=x^{2011}+x^{2010}+2010x=A(x)(x^2-1)+ax+b$ với $A(x)$ là đa thức thương của $f(x)$ cho $x^2-1$ và $ax+b$ là đa thức dư

Ta có:

$f(1)=2012=A(1).0+a+b=a+b(1)$

$f(-1)=-2010=A(-1).0-a+b=-a+b(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=2011; b=1$

Vậy đa thức dư là $2011x+1$

Answer 2

b.

Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^6+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}a^6}=\frac{3}{4}a^2$

$b^6+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}b^6}=\frac{3}{4}b^2$

$\Rightarrow a^6+b^6+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}(a^2+b^2)=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow a^6+b^6\geq \frac{1}{4}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Mặt khác:

Vì $a^2+b^2=1, a^2\geq 0; b^2\geq 0$ nên $a^2\leq 1; b^2\leq 1$

$\Rightarrow a^4\leq 1; b^4\leq 1$

$\Rightarrow a^6\leq a^2; b^6\leq b^2$

$\Rightarrow a^6+b^6\leq a^2+b^2$ hay $a^6+b^6\leq 1$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b)=(1,0)$ và hoán vị.