Bạn tự vẽ hình nhé.
a.
Xét tg AIC và tg DIB có:
IB = IC (I là trung điểm của BC)
IA = ID (theo gt)
góc AIC = góc BID (đối đỉnh)
Do đó: tg AIC = tg DIB (c - g - c) đpcm
=> góc CAI = góc IDB (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên AC // BD
b.
Có:
AH ⊥ BC
DK ⊥ BC
=> AH // DK (đpcm)
=> góc HAI = góc KDI (so le trong)
Xét tg AHI và tg DKI có:
góc HAI = góc KDI (cmt)
góc AIH = góc DIK (đối đỉnh)
IA = ID
Do đó: tg AHI = tg DKI (g - c - g)
=> AH = DK (2 cạnh tương ứng) đpcm
c.
Từ tg AHI = tg DKI
=> HI = KI (2 cạnh tương ứng)
lại có IB = IC
Mà:
HI + BH = IB
KI + CK = IC
Từ trên suy ra: BH = CK
Xét tg BHM và tg CKN có:
góc BHM = góc CKN = 90o (AH vuông góc BC, CK vuông góc BC)
BH = CK (cmt)
góc ABM = góc CKN (2 góc so le trong do AB // CD)
Do đó: tg BHM = tg CKN (g - c - g)
=> HM = KN (2 cạnh tương ứng)
Ta có:
HM + AH = AM
KN + DK = DN
Mà: HM = KN, AH = DK (theo câu b)
Từ trên suy ra: AM = DN
Xét tg AMI và tg DNI có:
AM = DN (cmt)
góc MAI = góc NDI (2 góc so le trong trong AH // DK)
AI = DI (gt)
Do đó:
tg AMI = tg DNI (c - g -c)
=> IM = IN (2 cạnh tương ứng)
Xét tứ giác AMDN có:
AM // DN, AN // MD (do AC // BD)
=> AMDN là hình bình hành.
=> AD và MN sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà I thuộc AD và IA = AD
Lại có: IM = IN
Từ trên suy ra: I là giao điểm của 2 đường chéo.
=> I thuộc MM
Vậy ta suy ra I, M, N thẳng hàng (đpcm).
