a) xét tam giác CHA và tam giác CAB có
góc AHC = góc BAC
góc C chung
=> tg CHA đồng dạng tg CAB (g-g)
\(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CH}{CA}\)
=> AC . AC = CH .CB
hay AC2 = CH . CB
a,
Xét Δ CHA và Δ CAB, có :
\(\widehat{CHA}=\widehat{CAB}=90^o\)
\(\widehat{HCA}=\widehat{ACB}\) (góc chung)
=> Δ CHA ~ Δ CAB (g.g)
=> \(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}\)
=> \(CA^2=CB.CH\)
b,
Xét Δ ABC vuông tại A, có :
\(AB^2+AC^2=BC^2\) (Py - ta - go)
=> \(6^2+8^2=BC^2\)
=> BC = 10 (cm)
Ta có : \(CA^2=CB.CH\) (cmt)
=> \(8^2=10.CH\)
=> \(CH=\dfrac{8^2}{10}=6,4\) (cm)
c) △ACH có: CI là phân giác \(\Rightarrow\dfrac{IH}{AI}=\dfrac{CH}{CA}\)
Mà \(\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}\left(cmt\right)\) nên \(\dfrac{IH}{AI}=\dfrac{CA}{CB}\)
△ABC có: CK là phân giác \(\Rightarrow\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{AK}{BK}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{IH}{AI}\)
d) △CHA∼△CAB \(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{CA}{CB}\Rightarrow AH.BC=AB.AC\).
Tứ giác MHNA có: \(\widehat{MAN}=\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90^0\)
\(\Rightarrow\)MHNA là hình chữ nhật nên MH//AC, \(MH=AN\).
△ABC có: MH//AC \(\Rightarrow\dfrac{MH}{AC}=\dfrac{BM}{AB}\Rightarrow AC.BM=AB.MH\)
\(\Rightarrow AC.BM=AB.AN\)
\(AC.BM+AB.CN=AB.AN+AB.CN=AB.\left(AN+CN\right)=AB.AC=AH.BC\)
