\(a.\) \(\overrightarrow{AB}=\left(3;1\right).\Rightarrow\overrightarrow{u_{AB}}=\left(3;1\right).\Rightarrow\overrightarrow{n_{AB}}=\left(-1;3\right).\)
Đường thẳng\(AB:\)
+ Đi qua \(B\left(2;3\right).\)
+ Nhận \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(-1;3\right)\) làm VTPT.
\(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng \(AB:\)
\(-1\left(x-2\right)+3\left(y-3\right)=0.\\ \Leftrightarrow-x+2+3y-9=0.\\ \Leftrightarrow-x+3y-7=0.\)
\(b.\) \(\overrightarrow{BC}=\left(2;-2\right).\Rightarrow\overrightarrow{u_{BC}}=\left(2;-2\right).\Rightarrow\overrightarrow{n_{BC}}=\left(2;2\right).\)
Đường thẳng \(BC:\)
+ Đi qua \(B\left(2;3\right).\)
+ Nhận \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(2;2\right)\) làm VTPT.
\(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng \(BC:\)
\(2\left(x-2\right)+2\left(y-3\right)=0.\\ \Leftrightarrow2x-4+2y-6=0.\\ \Leftrightarrow2x+2y-10=0.\\ \Leftrightarrow x+y-5=0.\)
Gọi hình chiếu của A trên BC là H.
Ta có: \(H\in BC.\Rightarrow H\left(a;5-a\right).\)
\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AH}=\left(a+1;5-a-2\right)=\left(a+1;-a+3\right).\)
Vì \(AH\perp BC\) (Do AH là hình chiếu của A trên BC).
\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0.\)
\(\Rightarrow2\left(a+1\right)-2\left(-a+3\right)=0.\\ \Leftrightarrow2a+2+2a-6=0.\\ \Leftrightarrow4a=4.\\ \Leftrightarrow a=1.\\ \Rightarrow H\left(1;4\right).\)
A' đối xứng A qua BC.
\(\Rightarrow\) Giao điểm của AA' và BC là trung điểm của mỗi đường; \(AA'\perp BC.\)
Mà H là giao điểm của AH và BC; \(AH\perp BC.\) \(\Rightarrow AH\equiv AA'.\)
\(\Rightarrow\) H là trung điểm của \(AA'\).
\(\Rightarrow H\left(\dfrac{x_A+x_{A'}}{2};\dfrac{y_A+y_{A'}}{2}\right)=\left(1;4\right).\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{-1+x_{A'}}{2};\dfrac{2+y_{A'}}{2}\right)=\left(1;4\right).\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-1+x_{A'}}{2}=1.\\\dfrac{2+y_{A'}}{2}=4.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=3.\\y_{A'}=6.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A'\left(3;6\right).\)
