Bài 16: a. xét tam giác ADB và tam giác AEC có:
góc D= góc E= 90o
góc A chung
=> tam giác ADB~tam giác AEC (g.g)
b. xét tam giác EHB và tam giác DHC có:
góc E= góc D=90o
góc EHB= góc DHC (đối đỉnh)
=> tam giác EHB~tam giác DHC
=> \(\dfrac{HE}{HB}\)=\(\dfrac{HD}{HC}\)
=> HE.HC=HD.HB
c. Ta có EC vuông góc EB và BK vuông góc EB
=> EC//BK (1)
Ta có BD vuông góc CD và CK vuông góc CD
=> BD//CK (2)
từ (1) và (2) ta góc HCKB là hình bình hành
=> HK và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (M)
=> H,M,K thẳng hàng.
Bài 17:
a) -△KBC và △HCB có: \(\widehat{KBC}=\widehat{HCB};\widehat{BKC}=\widehat{CHB}=90^0;BC\) là cạnh chung. \(\Rightarrow\)△KBC=△HCB (g-c-g).\(\Rightarrow BK=CH\)
b) △AIC và △BHC có: \(\widehat{AIC}=\widehat{BHC};\widehat{ACB}\) là góc chung.
\(\Rightarrow\)△AIC∼△BHC (g-g).
\(\Rightarrow\dfrac{IC}{HC}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow HC.AC=IC.BC\).
c) \(BK=CH;AB=AC\Rightarrow AK=AH\).
\(\Rightarrow\)△AKH cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AKH}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\).
Mà \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{BAC}}{2}\) nên \(\widehat{AKH}=\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\)KH//BC.
d) - △ABC cân tại A có AI là đường cao nên AI cũng là trung tuyến.
\(\Rightarrow\)I là trung điểm BC.
\(HC.AC=IC.BC\Rightarrow HC=\dfrac{IC.BC}{AC}=\dfrac{\dfrac{1}{2}a.a}{b}=\dfrac{a^2}{2b}\)
\(\Rightarrow AH=AC-HC=b-\dfrac{a^2}{2b}=\dfrac{2b^2-a^2}{2b}\)
-△ABC cân tại A có: KH//BC.
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{BC}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow KH=\dfrac{BC.AH}{AC}=\dfrac{a.\dfrac{2b^2-a^2}{2b}}{b}=\dfrac{2ab^2-a^3}{2b^2}\)