\(S=\dfrac{abc}{4R}=pr\Rightarrow\dfrac{r}{R}=\dfrac{4S^2}{p.abc}=\dfrac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p.abc}=\dfrac{4\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{abc}\)
\(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\le\dfrac{\left(p-a-p-b\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2p-a-b\right)^2}{4}=\dfrac{c^2}{4}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{a^2}{4};\left(p-a\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{b^2}{4}\)
\(\Rightarrow\left[\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\right]^2\le\left(\dfrac{abc}{8}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{abc}{8}\)
\(\Rightarrow\dfrac{r}{R}\le\dfrac{4.\dfrac{abc}{8}}{abc}=\dfrac{1}{2}\) dấu"=" xảy ra<=>tam giác abc đều
