Bài 3:
\(a,=x^2+x-2-x^2-3x=-2x-2\\ b,=\dfrac{6x+5x^2+15x+x^2-3x}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{6x(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{6x}{x-3}\\ c,=\dfrac{5(x+y)}{3(x-y)}.\dfrac{(x-y)(x+y)}{5x}=\dfrac{(x+y)^2}{x}\)
Bài 5:
\(M=(x^2-2xy+y^2)+(x^2+x+\dfrac{1}{4})-\dfrac{1}{4}\\ M=(x-y)^2+(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{1}{2}\)
Bài 4:
a) Xét tam giác ABC vuông tại A: AM là trung tuyến (gt).
\(\Rightarrow\) AM = BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\) BC (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Xét tứ giác AMBE có:
+ D là trung điểm của AB (gt).
+ D là trung điểm của ME (E đối xứng M qua D).
\(\Rightarrow\) Tứ giác AMBE là hình bình hành (dhnb).
Mà AM = BM (cmt).
\(\Rightarrow\) Tứ giác AMBE là hình thoi (dhnb).
b) Tứ giác AMBE là hình thoi (cmt).
\(\Rightarrow\) EA // MC và EA = BM (Tính chất hình thoi).
Mà BM = MC (cmt).
\(\Rightarrow\) EA = MC (= BM).
Xét tứ giác ACME có:
+ EA // MC (cmt)
+ EA = MC (cmt).
\(\Rightarrow\) Tứ giác ACME là hình bình hành (dhnb).
c) Theo đề bài: Tứ giác AMBE là hình vuông (cmt).
\(\Rightarrow\) AM \(\perp\) BC (Tính chất hình vuông).
Xét tam giác ABC vuông tại A có: AM là trung tuyến (gt).
Mà AM là đường cao (AM \(\perp\) BC).
\(\Rightarrow\) Tam giác ABC vuông cân tại A.
Vậy điều kiện để tứ giác AMBE là hình vuông là tam giác ABC vuông cân tại A.
Tam giác ABC vuông cân tại A (cmt).
\(\Rightarrow\) AB = AC (Tính chất tam giác cân).
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông cân tại A:
BC = \(\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2AC^2}=\sqrt{2.12^2}=12\sqrt{2}\) (cm).
\(\Rightarrow\) BM = \(\dfrac{1}{2}\) BC = \(\dfrac{1}{2}.12\sqrt{2}\) = \(6\sqrt{2}\) (cm).
\(\Rightarrow\) Diện tích hình vuông AMBE là: BM2 = 72 cm2.
