a) Xét tam giác ABI và tam giác ADI có:
+ ^BAI = ^DAI (AI là phân giác góc ^BAC).
+ AB = AD (gt).
+ AI chung.
=> Tam giác ABI = Tam giác ADI (c – g – c).
=> IB = ID (2 cạnh tương ứng).
Ta có: AE = AB + BE.
AC = AB + BE.
=> AB = AC = AB + BE.
Xét tam giác AIE và tam giác AIC có:
+ AI chung.
+ ^EAI = ^CAI (AI là phân giác góc ^BAC).
+ AB = AC (cmt).
=> Tam giác AIE = Tam giác AIC (c – g – c).
=> IE = IC (2 cạnh tương ứng).
b) Xét tam giác ADE có:
^AED + ^ADI + ^EAD = 180o (Tổng các góc trong tam giác).
<=> ^AED + ^ADI + ^EAI + ^IAD = 180o.
<=> (^AED + ^EAI) + (^ADI + ^IAD) = 180o.
<=> 180o - ^AIE + 180o - ^AID = 180o.
<=> - ^AIE - ^AID = 180o - 360o.
<=> - ^AIE - ^AID = -180o.
<=> ^AIE + ^AID = 180o.
=> E; I; D thẳng hàng.
c) Xét tam giác EAC có: AE = AC (cmt).
=> Tam giác EAC cân tại A.
Mà AI là phân giác ^EAC (AI là phân giác góc ^BAC).
=> AI là đường cao của tam giác EAC. => AI vuông góc EC.
Xét tam giác EIC có: IE = IC (cmt).
=> Tam giác EIC cân tại I.
Mà AI là đường cao của tam giác EIC (do AI vuông góc EC).
=> AI là phân giác ^EIC (Tính chất các đường trong tam giác cân).
