Question

Answer 1

Lời giải:
$x+y\geq x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$\Rightarrow 1\geq x^2-xy+y^2$

$\Leftrightarrow 1\geq (x+y)^2-3xy\geq (x+y)^2-3.\frac{(x+y)^2}{4}$ (theo BĐT AM-GM)

$\Leftrightarrow 1\geq \frac{(x+y)^2}{4}$

$\Rightarrow 4\geq (x+y)^2$

$\Rightarrow x+y\leq 2(*)$

---------------

Vì $x+y\leq 2$ nên xảy ra các TH sau:

Nếu $x,y\leq 1$ thì:

$x^2\leq x; y^2\leq y\Rightarrow x^2+y^2\leq x+y$

Nếu $x,y$ có 1 số $\geq 1$ và 1 số $\leq 1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)\leq 0$

$\Rightarrow xy+1\leq x+y$

Mà $x^2-xy+y^2\leq 1$

$\Rightarrow x^2+y^2\leq xy+1\leq x+y$ 

Vậy tóm lại: $x^2+y^2\leq x+y(**)$

Từ $(*); (**)$ ta có đpcm.