a: Xét ΔAHC vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AC=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)
b: Ta có: \(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)
=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\)
Xét ΔAED vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\)
Do đó: ΔAED~ΔACB
=>\(\hat{ADE}=\hat{ABC}\)
c: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{EAD}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
BH+CH=BC
=>BC=16+36=52(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BA^2=BH\cdot BC\)
=>\(BA^2=16\cdot52=64\cdot13\)
=>\(BA=\sqrt{64\cdot13}=8\sqrt{13}\) (cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(CA^2=CH\cdot CB\)
=>\(CA^2=36\cdot52=6^2\cdot2^2\cdot13=12^2\cdot13\)
=>\(CA=12\sqrt{13}\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC=16\cdot36=4^2\cdot6^2=24^2\)
=>AH=24(cm)
mà AH=DE
nên DE=24(cm)
d: ΔABC có AH là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot24\cdot52=12\cdot52=624\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
ΔHAB vuông tại H
=>\(S_{HAB}=\frac12\cdot HA\cdot HB=\frac12\cdot24\cdot16=12\cdot16=192\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Ta có: \(S_{HAB}+S_{HAC}=S_{ABC}\)
=>\(S_{HAC}=624-192=432\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
e: Xét ΔHAC vuông tại H có HD là đường cao
nên \(DA\cdot DC=HD^2\)
Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao
nên \(EA\cdot EB=HE^2\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(DE^2=HE^2+HD^2\)
=>\(DE^2=DA\cdot DC+EA\cdot EB\)
