\(a,BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\left(pytago\right)\)
Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC=5\left(cm\right)\)
Vì BN,CE là trung tuyến nên \(\left\{{}\begin{matrix}AN=NC=\dfrac{1}{2}AC=4\left(cm\right)\\AE=EB=\dfrac{1}{2}AB=3\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Áp dụng định lí PTG cho tam giác ACE và ANB:
\(\left\{{}\begin{matrix}CE^2=AC^2+AE^2=8^2+3^2=73\\BN^2=AB^2+AN^2=4^2+6^2=52\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CE=\sqrt{73}\left(cm\right)\\BN=\sqrt{52}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
\(b,\) Vì AM, BN, CE giao tại O nên O là trọng tâm
Do đó \(OA+OB+OC=\dfrac{2}{3}\left(AM+BN+CE\right)\)
\(=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{73}+\sqrt{52}+5\right)\approx13,84\left(cm\right)\)
