a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(BH\cdot BC=BA^2;CH\cdot CB=CA^2\)
=>\(\frac{BA^2}{CA^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC;AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
Xét ΔBHA vuông tại H có HN là đường cao
nên \(BN\cdot BA=BH^2;AN\cdot AB=AH^2\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AC=AH^2;CM\cdot CA=CH^2\)
\(BN\cdot BA\cdot CM\cdot CA\)
\(=BH^2\cdot CH^2=\left(BH\cdot CH\right)^2=\left(AH^2\right)^2=AH^4\)
b: \(CM\cdot CA=CH^2\)
=>\(CM=\frac{CH^2}{CA}\)
\(BN\cdot BA=BH^2\)
=>\(BN=\frac{BH^2}{BA}\)
\(CM\cdot BN\cdot BC\)
\(=\frac{CH^2}{CA}\cdot\frac{BH^2}{BA}\cdot BC=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}\cdot BC=AH^3\)
c: \(AM\cdot AN=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}\)
\(=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)
d: \(\frac{BM}{CN}=\frac{BH^2}{AB}:\frac{CH^2}{AC}\)
\(=\frac{BH^2}{CH^2}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AB}\cdot\left(\frac{BH}{CH}\right)^2=\frac{AC}{AB}\cdot\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{AB^3}{AC^3}\)
e: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
=>\(HA^2=HM^2+HN^2\) (1)
Xét ΔBHA vuông tại H có HN là đường cao
nên \(NA\cdot NB=HN^2\left(2\right)\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HM là đường cao
nên \(MA\cdot MC=HM^2\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(HA^2=NA\cdot NB+MA\cdot MC\)
