\(a,\) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AN=NC\\KN=NH\\\widehat{AHC}=90\end{matrix}\right.\Rightarrow AHCK\) là hình chữ nhật
\(b,\Delta ABC\) cân tại A nên AH là đường cao cũng là trung tuyến
Ta có AHCK là hcn nên \(AK//HC\) hay \(AK//HB\) và \(AK=HC=HB\)
Do đó \(ABHK\) là hình bình hành
Mà M là trung điểm AH nên M cũng là trung điểm BK
Vậy 3 điểm B,M,K thẳng hàng
\(c,\left\{{}\begin{matrix}AM=MH\\AN=NC\end{matrix}\right.\Rightarrow MN\) là đtb \(\Delta ACH\)
\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}HC\left(1\right);MN//HC\perp AH\)
\(\left\{{}\begin{matrix}AM=MH\\MQ//BH\left(MN//HC\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow AQ=BQ\Rightarrow MQ\) là đtb \(\Delta ABH\)
\(\Rightarrow MQ=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}HC\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow MQ=MN\)
Mà \(AM=MH\) nên \(AQHN\) là hình bình hành
Mà \(NQ\perp AH\left(MN\perp AH\right)\Rightarrow AQHN\) là hình thoi
\(d,\) Vì \(AQ//HN\left(hình.thoi.AQHN\right)\) nên \(AKHQ\) là hình thang
Để AKHQ là hình thang \(\Leftrightarrow\widehat{QHK}=\widehat{AKH}\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{QHK}=\widehat{BAC}\left(hình.thoi.AQHN\right)\\\widehat{AKH}=\widehat{ABC}\left(hình.bình.hành.ABHK\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}=\widehat{ABC}\\ \Leftrightarrow\Delta ABC.đều\)
Vậy để AKHQ là hình thang cân thì tam giác ABC phải đều
