Bài 3: Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2=2x+m-1\)
=>\(x^2-2x-m+1=0\)
\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m+1\right)=4+4m-4=4m\)
Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì 4m>0
=>m>0
Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-m+1\end{cases}\)
\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)
\(=2^2-2\cdot\left(-m+1\right)=4+2m-2=2m+2\)
\(y_1^2+y_2^2=16\)
=>\(x_1^4+x_2^4=16\)
=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)^2-2\cdot\left(x_1x_2\right)^2=16\)
=>\(\left(2m+2\right)^2-2\left(-m+1\right)^2=16\)
=>\(4m^2+8m+4-2\left(m^2-2m+1\right)=16\)
=>\(4m^2+8m+4-2m^2+4m-2=16\)
=>\(2m^2+12m-14=0\)
=>\(m^2+6m-7=0\)
=>(m+7)(m-1)=0
=>m=-7(loại) hoặc m=1(nhận)
Bài 2; Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2=2mx+2m+3\)
=>\(x^2-2mx-2m-3=0\)
\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-3\right)\)
\(=4m^2+8m+12=4m^2+8m+4+8=\left(2m+2\right)^2+8>0\forall m\)
=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt
Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-2m-3\end{cases}\)
\(y_1+y_2<=5\)
=>\(x_1^2+x_2^2\le5\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\le5\)
=>\(\left(2m\right)^2-2\left(-2m-3\right)\le5\)
=>\(4m^2+4m+6-5\le0\)
=>\(4m^2+4m+1\le0\)
=>\(\left(2m+1\right)^2\le0\)
=>2m+1=0
=>2m=-1
=>\(m=-\frac12\)
