Bài 2:
Ta có: \(x^2-2\left(m-1\right)x-3-m=0\)
\(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-3-m\right)\)
\(=\left(2m-2\right)^2+4\left(m+3\right)\)
\(=4m^2-8m+4+4m+12\)
\(=4m^2-4m+16\)
\(=4m^2-4m+1+15\)
\(=\left(2m-1\right)^2+15>0\forall m\)
Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2< 10\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 10\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\left(-m-3\right)< 10\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+2m+6-10< 0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-6m< 0\)
\(\Leftrightarrow m\left(4m-6\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\4m-6< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m\\m< \dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow0< m< \dfrac{3}{2}\)
Bài 4:
a) Thay m=2 vào pt, ta được:
\(-x^2+2x+2+1=0\)
\(\Leftrightarrow-x^2+2x+3=0\)
a=-1; b=2; c=3
Vì a-b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(x_1=-1;x_2=\dfrac{-c}{a}=\dfrac{-3}{-1}=3\)
b) Ta có: \(-x^2+2x+m+1=0\)
\(\text{Δ}=2^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(m+1\right)\)
\(=4+4\left(m+1\right)\)
\(=4m+8\)
Để pt có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0
\(\Leftrightarrow4m+8>0\)
\(\Leftrightarrow4m>-8\)
hay m>-2
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-2}{-1}=2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m+1}{-1}=-m-1\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\)
\(\Leftrightarrow2^2-2\cdot\left(-m-1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow4+4m+2=3\)
\(\Leftrightarrow4m=-3\)
hay \(m=-\dfrac{3}{4}\)(thỏa ĐK)
