d: \(\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\cdot cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+cosx\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt2}\left(\sin x+cosx\right)\)
=>\(\sin^3\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt2}\cdot\left(\sin x+cosx\right)^3\)
Ta có: \(\sin^3\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\cdot\sin x\)
=>\(\frac{1}{2\sqrt2}\left(\sin x+cosx\right)^3=\sqrt2\cdot\sin x\)
=>\(\left(\sin x+cosx\right)^3=4\cdot\sin x\) (1)
Nếu cosx=0 thì \(\left(\sin x+0\right)^3=4\cdot\sin x\)
=>\(\sin^3x=4\cdot\sin x\)
=>\(sinx\left(\sin^2x-4\right)=0\)
=>sin x=0(Vô lý vì sin x không thể cùng bằng 0 với cosx được)
=>cosx<>0
(1) sẽ tương đương với:
\(\left(\frac{\sin x}{cosx}+1\right)^3=4\cdot\frac{\sin x}{cos^3x}\)
=>\(\left(\tan x+1\right)^3=4\cdot\tan x\cdot\frac{1}{cos^2x}=4\cdot\tan x\left(1+\tan^2x\right)\)
Đặt a=tan x
Phương trình sẽ trở thành: \(\left(a+1\right)^3=4a\left(a^2+1\right)\)
=>\(4a^3+4a=a^3+3a^2+3a+1\)
=>\(3a^3-3a^2+a-1=0\)
=>(a-1)(3a^2+1)=0
=>a-1=0
=>a=1
=>tan x=1
=>\(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)
