Sửa đề: \(C=\frac{2021}{\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+1}\)

TA có: \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

\(\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\)

=>\(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge0\forall x,y\)

=>\(\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+1\ge1\forall x,y\)

=>\(\frac{2021}{\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2+1}\le\frac{2021}{1}=2021\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0 và y+1=0

=>x=3 và y=-1

1: XétΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\hat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)

=>\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

góc EAF chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

2: XétΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại D

BM//CF
CF⊥AB

Do đó: BM⊥BA

=>ΔABM vuông tại B

Xét ΔDBM vuông tại D và ΔDAB vuông tại D có

\(\hat{DBM}=\hat{DAB}\left(=90^0-\hat{DMB}\right)\)

Do đó: ΔDBM~ΔDAB

=>\(\frac{DB}{DA}=\frac{DM}{DB}\)

=>\(DB^2=DM\cdot DA\)

Câu 1; phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2x+m\)

=>\(x^2-2x-m=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)=4m+4\)

Để (d) tiếp xúc với (P) thì 4m+4=0

=>m=-1

Câu 5:

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>CA⊥FB tại C

Xét tứ giác BDEC có \(\hat{BDE}+\hat{BCE}=90^0+90^0=180^0\)

nên BDEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác ODIC có \(\hat{ODI}+\hat{OCI}=90^0+90^0=180^0\)

nên ODIC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có \(\hat{ICA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CI và dây cung CA

\(\hat{CBA}\) là góc nội tiếp chắn cung CA

Do đó: \(\hat{ICA}=\hat{CBA}\)

mà \(\hat{CBA}=\hat{IEC}\left(=180^0-\hat{DEC}\right)\)

nên \(\hat{ICE}=\hat{IEC}\)

=>ΔIEC cân tại I

Ta có: \(\hat{ICE}+\hat{ICF}=\hat{FCE}=90^0\)

\(\hat{IEC}+\hat{IFC}=90^0\) (ΔCEF vuông tại C)

mà \(\hat{ICE}=\hat{IEC}\)

nên \(\hat{ICF}=\hat{IFC}\)

=>IC=IF

mà IE=IC

nên IE=IF

=>I là trung điểm của EF

Ta có: \(\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1\cdot2}=1-\frac12\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}=\frac12-\frac13\)

...

\(\frac{1}{9^2}<\frac{1}{8\cdot9}=\frac18-\frac19\)

Do đó: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{9^2}<1-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac18-\frac19\)

=>\(A<1-\frac19\)

=>A<1

Trên tia đối của tia MC, lấy H sao cho MH=MC

Xét ΔMCB và ΔMHA có

MC=MH

\(\hat{CMB}=\hat{HMA}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MA

Do đó: ΔMCB=ΔMHA

=>CB=HA

Xét ΔCAGH có AC+AH>CH

=>AC+CB>2CM

=>\(CM<\frac12\left(CA+CB\right)\) (ĐPCM)

Bác về nhà lúc:

8h15p+55p+3h30p=11h45p+55p

=12h+40p

=12h40p

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc O trùng với đỉnh A(0; 0; 0) và các cạnh hình lập phương có độ dài bằng 1, ta có tọa độ các đỉnh khác như sau:

A(0;0;0); B(1;0;0); D(0;1;0); B'(1;0;1); C(1;1;0)

\(\overrightarrow{BD}=\left(0-1;1-0;0-0\right)\)

=(-1;1;0)

\(\overrightarrow{AB^{\prime}}=\left(1-0;0-0;1-0\right)=\left(1;0;1\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(1-0;1-0;0-0\right)=\left(1;1;0\right)\)

\(\vec{n} = [\vec{AB'}, \vec{AC}] = (0\cdot 0 - 1\cdot 1; 1\cdot 1 - 1\cdot 0; 1\cdot 1 - 0\cdot 1) = (-1; 1; 1)\)

Gọi α là góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (B'AC). Theo công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có:

\(\sin \alpha = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}\vert{}}\)

\(=\frac{(-1)(-1)+1\cdot1+0\cdot1}{\sqrt{\left(-1\right)_{}^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{\left(-1\right)^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt2\cdot\sqrt3}=\frac{2}{\sqrt6}\)

=>α≃55 độ

Câu 1:

a: ĐKXĐ: x+3<>0

=>x<>-3

b: ĐKXĐ: \(\begin{cases}2-x\ge0\\ x+5\ge0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x\le2\\ x\ge-5\end{cases}\)

=>-5<=x<=2

c: ĐKXĐ: 2-x>0 và x+2>=0

=>x<2 và x>=-2

=>-2<=x<2

Câu 3:

a: \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}<\frac{1-2x}{4}\)

=>\(\frac{6\left(3x+1\right)}{12}-\frac{4\left(x-2\right)}{12}<\frac{3\left(1-2x\right)}{12}\)

=>6(3x+1)-4(x-2)<3(1-2x)

=>18x+6-4x+8<3-6x

=>14x+14<3-6x

=>20x<-11

=>x<-11/20

b: \(\left(x+1\right)\left(2x+2\right)-2\ge x^2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

=>\(2x^2+4x+2-2\ge x^2+x^2+x-2\)

=>4x>=x-2

=>3x>=-2

=>x>=-2/3

e: \(\begin{cases}x+3>7-2x\\ 4+4x>6x-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x+2x>7-3\\ 4x-6x>-1-4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}3x>4\\ -2x>-5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x>\frac43\\ x<\frac52\end{cases}\)

=>4/3<x<5/2

Diện tích xung quanh của căn phòng là:

\(\left(2,8+1,5\right)\times2\times2,4=4,8\times4,3=20,64\left(m^2\right)\)

60cm=0,6m

Diện tích cửa ra vào là: \(0,6\cdot2,4=1,44\left(m^2\right)\)

Diện tích thực tế cần ốp gạch là:

20,64-1,44=19,2\(\left(m^2\right)\)

20cm=0,2m; 15cm=0,15m

Diện tích mỗi viên gạch là:

0,2x0,15=0,03\(\left(m^2\right)\)

Số viên gạch cần dùng là 19,2:0,03=640(viên)

Thời gian ốp xong là:

640:20=32(giờ)

Bài 1: \(\lim_{x\to1}\frac{x^3-5x^2+7x-3}{x^2-1}\)

\(=\lim_{x\to1}\frac{x^3-x^2-4x^2+4x+3x-3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\lim_{x\to1}\frac{\left(x-1\right)\left(x^2-4x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\lim_{x\to1}\frac{x^2-4x+3}{x+1}=\frac{1^2-4\cdot1+3}{1+1}=0\)

\(f\left(1\right)=2m+1\)

Để hàm số liên tục tại x=1 thì \(f\left(1\right)=\lim_{x\to1}f\left(x\right)\)

=>2m+1=0

=>2m=-1

=>m=-1/2