(d) cắt Ox tại A => Tọa độ A(0 ; y₁)

=> y₁ = (m² + 1).0 + 2 = 2 => A(0 ; 2)

(d) cắt Oy tại B => Tọa độ B(x₁ ; 0) 

=> 0 = (m² + 1)x₁ + 2 

=> x₁ = \(\dfrac{-2}{m^2+1}\)

=> B(\(\dfrac{-2}{m^2+1};0\)) 

Gọi khoảng cách O đến (d) : OH 

=> \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{ \left|\dfrac{-2}{m^2+1}\right|^2}+\dfrac{1}{2^2}\)

\(=\dfrac{\left(m^2+1\right)^2+1}{4}\)

OH max <=> OH² max <=> \(\dfrac{1}{OH^2}min\Leftrightarrow\dfrac{\left(m^2+1\right)^2+1}{4}min\)

Khi đó \(\dfrac{\left(m^2+1\right)^2+1}{4}=\dfrac{m^4+2m^2+2}{4}\ge\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

=> \(\dfrac{1}{OH^2}\ge\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow OH\le\sqrt{2}\)  ("=" khi m = 0) 

Vậy m = 0 thì OH_max = \(\sqrt{2}\)

Với p = 2 => 2^p + p² = 8 (loại)

Với p = 3 => 2³ + 3² = 17 (loại) 

Nhận thấy với p > 3 => p lẻ 

Đặt p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 (k \(\in Z^+\))

Khi đó P = 2^p + p² 

= (2^p + 1) + (p² - 1)

Vì p lẻ => 2^p + 1 = (2 + 1).(2^{p - 1} - 2^{p - 2} + ... + 1) \(⋮3\)(1) 

Với p = 3k + 1 => p² - 1 = (p - 1)(p + 1) = (3k + 1 - 1)(3k + 1 + 1)

= 3k(3k + 2) \(⋮3\) (2) 

Từ (1) ; (2) => P \(⋮3\)(loại)

Với p = 3k + 2 => p² - 1 = (p - 1)(p + 1) = (3k + 2 - 1)(3k + 2 + 1)

= 3(k + 1)(3k + 1) \(⋮\)3 (3) 

Từ (1) ; (3) => P \(⋮3\)

=> p = 3 là giá trị cần tìm 

Với p = 2 => 8p²  +1 = 33 (loại)

Với p = 3 => 8p² + 1 = 73 (tm)

Với p > 3 => Đặt p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 (k \(\in Z^+\)) 

Với p = 3k + 1 => 8p² + 1 = 8(3k + 1)² + 1 

= 72k² + 48k + 9 = 3(24k² + 16k + 3) \(⋮3\)(loại)

Với p = 3k + 2 => 8p² + 1 = 8(3k + 2)² + 1 

= 72k² + 96k + 33 = 3(24k² + 32k + 11) \(⋮3\)(loại)

Vậy p = 3 thì 8p² + 1 \(\in P\)

Vì tổng của p² + q² + r² \(⋮2\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}p⋮2\\q⋮2\\r⋮2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=2\\q=2\\r=2\end{matrix}\right.\); 

Giả sử r = 2 => p² + q² = 5050 ; p;q lẻ 

=> Chữ số tận cùng p² chỉ có thể là 9;1

=> Chư số tận cùng p là 1;3;7;9

mà p² + q² = 5050 => q² \(< 5050\) ; p² < 5050

<=> q < 72 (1) ; p < 72 (2) 

Lại có p² + q² = 5050

<=> 2pq = 5050 - (p - q)² < 5050

<=> pq \(< 2525\) (3)

Từ (1) ; (3) => p >  35 (4)

Từ (2) ; (4) => 35 < p < 72

<=> p \(\in\left\{37;41;43;47;53;59;61;67;71\right\}\)

Thử từng giá trị p => tìm được p = 71 thỏa mán 

thay vào pt gốc được q = 3 (tm)

Vậy các cặp (p;q;r) thỏa là (71;3;2) và các hoán vị 

ĐK : x \(\ge-1\)

Ta có : \(x^2-2x-1=\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}\)

<=> \(\left(x^2+1\right)-2\left(x+1\right)=\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=a;\sqrt{x+1}=b\)(\(a>0;b\ge0\))

Khi đó a² - 2b² = ab

<=> (a - 2b)(a + b) = 0

<=> a - 2b = 0

<=> a = 2b

<=> \(\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x+1}\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+1=4x+4\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x-3=0\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{7}+2\\x=-\sqrt{7}+2\end{matrix}\right.\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\sqrt{7}+2\)

5) Ta có \(T=\dfrac{x^2+y^2+2}{x-y}=\dfrac{x^2+y^2-2}{x-y}+\dfrac{4}{x-y}=\dfrac{x^2+y^2-2xy}{x-y}+\dfrac{4}{x-y}\)

\(=\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x-y}+\dfrac{4}{x-y}=x-y+\dfrac{4}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\dfrac{4}{x-y}}=4\) 

Dấu "=" xảy ra <=> \(x-y=\dfrac{4}{x-y}\Leftrightarrow x-y=2\)

Kết hợp x.y = 1

=> \(x=\sqrt{2}+1;y=\sqrt{2}-1\)

Vậy Min T = 4 <=>  \(x=\sqrt{2}+1;y=\sqrt{2}-1\)

\(P=-3x^2-4x\sqrt{y}+16x-2y+12\sqrt{y}+1998\)

\(\Leftrightarrow3P=-9x^2-12x\sqrt{y}-4y+16\left(3x+2\sqrt{y}\right)-64-\left(2y-4\sqrt{y}+2\right)+6060\)

\(=-\left(3y+2\sqrt{y}-8\right)^2-2\left(\sqrt{y}-1\right)^2+6060\le6060\)

=> P \(\le2020\) 

"=" khi \(\left\{{}\begin{matrix}3x+2\sqrt{y}=8\\\sqrt{y}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy Min P = 2020 khi x = 2 ; y = 1

Phương trình 2 nghiệm khi

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\left(-m+2\right).1=4m-4\ge0\Leftrightarrow m\ge1\)

Hệ thức Vière : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1.x_2=2-m\end{matrix}\right.\)

Khi đó |x₁ - x₂| = 2

<=> (|x₁ - x₂|)² = 4

<=> (x₁ - x₂)² = 4

<=> (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 4

<=> 2² - 4(2 - m) = 4

<=> 2 - m = 0 

<=> m = 2 (tm) 

Ta có P \(\le\dfrac{1^2+\left(\sqrt{x-1}\right)^2}{2}+\dfrac{2^2+\left(\sqrt{y-4}\right)^2}{2}+\dfrac{3^2+\left(\sqrt{z-9}\right)^2}{2}\)

\(=\dfrac{1+x-1+4+y-4+9+z-9}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{28}{2}=14\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}1=\sqrt{x-1}\\2=\sqrt{y-4}\\3=\sqrt{z-9}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2;y=8;z=18\)(tm)