\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}+2018=\dfrac{x-1+1}{\sqrt{x}-1}+2018\)

\(=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2018=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2018\)

\(=\left(\sqrt{x}-1\right)+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+2020\) 

\(\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}}+2020\) (BĐT Cauchy)

\(=2022\) (Dấu "=" khi \(\sqrt{x}-1=\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\Leftrightarrow x=4\) (tm))

Ta có \(a\sqrt{2-b^2}+b\sqrt{2-a^2}\le\dfrac{a^2+2-b^2}{2}+\dfrac{b^2-2-a^2}{2}=2\) 

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{2-b^2}\\b=\sqrt{2-a^2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a^2+b^2=2\)

Ta có \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-a-b\ge\dfrac{4}{a+b}-\left(a+b\right)\) (BĐT Schwarz) 

= \(\dfrac{4}{a+b}+\left(a+b\right)-2\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{a+b}.\left(a+b\right)}-2\left(a+b\right)\)

= 4 - 2a - 2b 

Lại có 2a \(\le a^2+1\)

<=> -2a \(\ge-a^2-1\)

Tương tự : -2b \(\ge-b^2-1\)

Khi đó P \(\ge4-2a-2b\ge4-a^2-1-b^2-1=2-\left(a^2+b^2\right)=0\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1 

Ta có  2x² + 3x + 2 = \(\dfrac{1}{8}\left(16x^2+24x+16\right)=\dfrac{1}{8}\left(4x+3\right)^2+\dfrac{7}{8}>0\)\(\forall x\)

=> x³ + 2x² + 3x + 2 > x³ 

=> y³ > x³ (1)

Lại có y³ =  x³ + 2x² + 3x + 2 = (x + 2)³ - (4x² + 9x + 6) 

Dễ thấy \(4x^2+9x+6=\dfrac{1}{4}\left(4x+\dfrac{9}{2}\right)^2+\dfrac{15}{16}>0\Rightarrow-\left(4x^2+9x+6\right)< 0\)

Khi đó (x + 2)³ - (4x² + 9x + 6) < (x + 2)³ 

<=> y³ < (x + 2)³ (2)

Từ (1) ; (2) => x³ < y³ < (x + 2)³ 

=> y³ = (x + 1)³ (vì y \(\in Z\)) 

Khi đó x³ + 2x² + 3x + 2 = (x + 1)³ 

<=> x³ + 2x² + 3x + 2 = x³ + 3x² + 3x + 1

<=> x² - 1 = 0

<=> (x - 1)(x + 1) = 0

<=> \(x=\pm1\)

x = 1 => y = 2 

x = -1 => y = 0

Vậy cặp (x ; y) thỏa mãn : (1 ; 2) ; (-1 ; 0) 

a) (x² - 4x)² = 4(x² - 4x) 

<=> (x² - 4x)(x² - 4x - 4) = 0

<=> x(x - 4)(x² - 4x - 4) = 0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\\\left(x-2\right)^2=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\\x=\pm\sqrt{8}+2\end{matrix}\right.\)

b) (x + 2)² - x + 1 = (x - 1)(x + 1) 

<=> x² + 4x + 4 - x + 1 = x² - 1

<=> 3x + 5 = -1

<=> x = -2 

a) bạn tự vẽ nha 

b) Phương trình hoành độ giao điểm : 

\(-\dfrac{1}{4}x^2=mx-2m-1\)

<=> \(x^2+4mx-8m-4=0\)

\(\Delta=\left(4m\right)^2-4\left(-8m-4\right).1=16m^2+32m+16\)

d tiếp xúc (p) khi \(\Delta=16m^2+32m+16=16\left(m+1\right)^2=0\Leftrightarrow m=-1\)

c) Gọi điểm A(x₁ ; y₁)

Khi đó y₁ = mx₁ - 2m - 1

<=> mx₁ - 2m - 1 - y₁ = 0

<=> m(x₁ - 2) + (-y₁ - 1) = 0

<=> \(x_1=2;y_1=-1\)

=> thử vào (p) => -1 = 1/4 . (2²) (đúng) 

Vậy A(2 ; -1) 

Đề HSG Nghệ An ak bạn 

P = \(n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

P \(⋮5\Leftrightarrow Q=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)

mà n không chia hết cho 5 => có dạng n = 5k + 1 ;5k + 2 ; 5k + 3 ;5k + 4 (k \(\in Z\)) 

Khi n = 5k + 1 => n - 1 \(⋮5\Rightarrow Q⋮5\Rightarrow P⋮5\)

tương tự với n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 thì Q \(⋮5\Rightarrow P⋮5\)

33) Desite of good performance, she lost the match

34) Miss Lan thanked the students for giving her some flower on Women's Day 

35) No one else in our musical class plays piano as well as her

36) Lan suggested we should keep sheets and single printed page for drafting 

Có : P = n² + 2017n = n² - n + 2028n 

Vì 2028n \(⋮12\forall n\)(*) 

=> P \(⋮12\Leftrightarrow n^2-n⋮12\)

Vì n chính phương => Đặt n = m²

Khi đó n² - n = n(n - 1) = m²(m² - 1) = m²(m - 1)(m + 1) 

= m(m - 1)(m + 1)(m - 2 + 2)

= (m - 2)(m - 1)m(m + 1) + 2m(m - 1)(m + 1)

Dễ thấy (m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮4\)(tích 4 số tự nhiên liên tiếp) (1) 

(m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮3\) (tích 3 số nguyên liên tiếp) (2) 

mà (4 ; 3) = 1 (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => (m - 2)(m - 1)m(m + 1) \(⋮4.3=12\)(4)

Lại có (m - 1)m(m + 1) \(⋮6\) (cùng chia hết cho 2 ; 3) 

=> 2(m - 1)m(m + 1) \(⋮12\) (5) 

Từ (4) ; (5) ; (*) => P \(⋮12\)

Đốt A => CO₂ => có C ; O

=> H₂O => có H;O

b) Có \(\left\{{}\begin{matrix}n_{CO_2}=\dfrac{m}{M}=\dfrac{13,2}{44}=0,3\left(mol\right)\\n_{H_2O}=\dfrac{m}{M}=\dfrac{5,4}{18}=0,3\left(mol\right)\end{matrix}\right.\) (1) 

PTHH : 4C_xH_y + (4x + y)O₂ --> 4xCO₂ + 2yH₂O (2) 

Từ (1) ; (2) => \(\dfrac{n_{CO_2}}{n_{H_2O}}=\dfrac{4x}{2y}=\dfrac{0,3}{0,3}\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{4}\Rightarrow CTHH:C_2H_4\)

=> A làm mất màu Br₂ : C₂H₄ + Br₂ ---> C₂H₄Br₂ 

A không pư thế Cl₂ 

21) phoned 

22) haven't seen

23) has been painted 

24) have punished