Đề yêu cầu tìm m sao cho hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định K \(\left(-\infty,m\right),\left(m,+\infty\right)\)

\(y'=\dfrac{x^2-2mx+m^2-m+1}{\left(x-m\right)^2}\)

y đồng biến trên K \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-m+1\ge0,\forall x\in K\)

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-m+1\ge0,\forall x\in K\) (1)

Nhận xét: f(x) là một parabol hướng lên và min tại \(x=m\)

(1) \(\Leftrightarrow\) \(f\left(m\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow1\ge m\)

Vậy...

b. \(B=-\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

Làm lại ý c đi bạn.

2.

Đk: \(x>0,x\ne1\)

\(B=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x-1}\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+2-x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

Vậy B=... 

3.\(A=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\) , \(\dfrac{A}{B}=\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}\)

\(P< 0\Leftrightarrow\dfrac{x}{\sqrt{x}-1}< 0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1< 0\left(dox>0\right)\)

\(\sqrt{x}< 1\Leftrightarrow0< x< 1\)

Vậy \(0< x< 1\) thì P âm.

Gọi a, b, c, h là độ dài hai cạnh góc vuông, cạnh huyền và đường cao

Có \(c=\sqrt{a^2+b^2},ab=ch\Leftrightarrow h=\dfrac{ab}{c}\)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=70\\c+h=74\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=70\\\sqrt{a^2+b^2}+\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}=74\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=70\\a^2+b^2+ab=74\sqrt{a^2+b^2}\end{matrix}\right.\)

PT dưới tương đương: \(\left(a+b\right)^2-ab=74\sqrt{\left(a+b\right)^2-2ab}\)

\(\Leftrightarrow ab=1200\)

Suy ra \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=70\\ab=1200\end{matrix}\right.\), a và b là hai nghiệm của pt \(x^2-70x+1200=0\)

\(\Leftrightarrow a=30,b=40\)

Vậy độ dài các cạnh góc vuông, cạnh huyền và đường cao là 30, 40, 50, 24.

Đề có phải là: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\) 

Gọi I là trung điểm AB

(Chèn điểm) \(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{MC}\)

\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MC}\)

Suy ra M nằm trên đường thẳng IC với I là trung điểm của MC

Đặt \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{x+y},\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{y+z},\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{z+x}\)

Đề trở thành: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\), tính \(P=\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\) Tương đương \(ab+bc=-ac\)

\(P=\dfrac{b^3c^3+a^3c^3+a^3b^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{\left(ab+bc\right)\left(a^2b^2-ab^2c+b^2c^2\right)+a^3c^3}{a^2b^2c^2}=\dfrac{-ac\left(a^2b^2-ab^2c+b^2c^2\right)+a^3c^3}{a^2b^2c^2}\)

\(=\dfrac{a^2c^2-a^2b^2+ab^2c-b^2c^2}{ab^2c}=\dfrac{ac}{b^2}-\dfrac{a}{c}+1-\dfrac{c}{a}\)\(=ac\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{1}{c^2}\right)-\dfrac{a}{c}+1-\dfrac{c}{a}\) (do \(\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c}\) tương đương \(\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{ac}+\dfrac{1}{c^2}\)) 

\(=3\)

Vậy P=3

Đk: \(x\in R\)

Pt \(\Leftrightarrow4x^2-4x+1=9\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x-8=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-8x+4x-8=0\)

\(\Leftrightarrow4x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x+4\right)\left(x-2\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có tập nghiệm \(S=\left\{-1;2\right\}\)

a.\(sin\widehat{A}=\sqrt{1-\left(cos\widehat{A}\right)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

\(tan\widehat{A}=\dfrac{sin\widehat{A}}{cos\widehat{A}}=1, cot\widehat{A}=\dfrac{1}{tan\widehat{A}}=1\)

b.\(\dfrac{1}{\left(cos\widehat{A}\right)^2}=\left(tan\widehat{A}\right)^2+1 \Leftrightarrow cos\widehat{A}=\sqrt{\dfrac{1}{\left(tan\widehat{A}\right)^2+1}}=\dfrac{1}{2}\)

\(sin\widehat{A}=\sqrt{1-\left(cos\widehat{A}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(cot\widehat{A}=\dfrac{1}{tan\widehat{A}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

c.\( cos\widehat{A}=\sqrt{1-\left(sin\widehat{A}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{21}}{5}, tan\widehat{A}=\dfrac{sin\widehat{A}}{cos\widehat{A}}\)\(=\dfrac{2\sqrt{21}}{21}\),\(cot\widehat{A}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}\)

d.\(\dfrac{1}{\left(sin\widehat{A}\right)^2}=\left(cot\widehat{A}\right)^2+1\)\(\Leftrightarrow sin\widehat{A}=\dfrac{4}{5}\), \(cos\widehat{A}=\sqrt{1-\left(sin\widehat{A}\right)^2}=\dfrac{3}{5}\),\(tan\widehat{A}=\dfrac{1}{cot\widehat{A}}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3+x-1=\left(\sqrt{1-y^2}\right)^3+\sqrt{1-y^2}\)

Xét \(f\left(t\right)=t^3+t\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2+1>0\forall t\)

\(\Rightarrow\) f(t) đồng biến trên R nên f(t)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm

\(f\left(x-1\right)=f\left(\sqrt{1-y^2}\right)\)\(\Rightarrow x-1=\sqrt{1-y^2}\)

\(P=\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2+y^2+4\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)-8y\)

\(=6+6\sqrt{1-y^2}-8y\)

\(P'=\dfrac{-6y}{\sqrt{1-y^2}}-8\), \(y\in\left(-1;1\right)\), \(P'=0\Leftrightarrow y=-0,8\left(tm\right)\)

Vẽ BBT, \(P_{max}=16\Leftrightarrow y=-0,8,x=1,6\)

a. Tam giác ABC vuông cân tại A....Suy ra AB=AC=2a

\(Vs.abc=\dfrac{1}{3}.SA.S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.2a.2a=\dfrac{2}{3}a^3\)

b. Tính S khối chóp bằng phương pháp tỉ số thể tích

Cho h/c S.ABC có mp \(\left(\alpha\right)\) không qua S cắt SA,SB,SC tại A',B',C', khi đó:

\(\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\)

Cm: Kẻ C'H' , CH lần lượt vuông góc với SB', SB

\(\Rightarrow\dfrac{S_{SB'C'}}{S_{SBC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.C'H'.SB'}{\dfrac{1}{2}CH.SB}=\dfrac{SC'}{SC}.\dfrac{SB'}{SB}\)

 \(\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{S_{SB'C'}.d\left(A',\left(SB'C'\right)\right)}{S_{SBC}.d\left(A,\left(SBC\right)\right)}\)

\(=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\)

Áp dụng: \(\dfrac{V_{SMNP}}{V_{SABC}}=\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow V_{MNPABC}=V_{SABC}-V_{SMNP}=\dfrac{1}{2}V_{SABC}=\dfrac{1}{3}a^3\)