Question

Cho các số thực x,y thỏa mãn \(x^3-3x^2+4x-2=\left(2-y^2\right)\sqrt{1-y^2}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+4x-8y\).

Answer 1

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3+x-1=\left(\sqrt{1-y^2}\right)^3+\sqrt{1-y^2}\)

Xét \(f\left(t\right)=t^3+t\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=3t^2+1>0\forall t\)

\(\Rightarrow\) f(t) đồng biến trên R nên f(t)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm

\(f\left(x-1\right)=f\left(\sqrt{1-y^2}\right)\)\(\Rightarrow x-1=\sqrt{1-y^2}\)

\(P=\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2+y^2+4\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)-8y\)

\(=6+6\sqrt{1-y^2}-8y\)

\(P'=\dfrac{-6y}{\sqrt{1-y^2}}-8\), \(y\in\left(-1;1\right)\), \(P'=0\Leftrightarrow y=-0,8\left(tm\right)\)

Vẽ BBT, \(P_{max}=16\Leftrightarrow y=-0,8,x=1,6\)