Các môn học tuy phức tạp nhưng lại trở thành kiến thức quý giá vì chính sự phức tạp đó giúp con người rèn luyện tư duy, khả năng suy luận và giải quyết vấn đề. Khi học những nội dung khó, người học buộc phải kiên trì, suy nghĩ sâu và hiểu bản chất chứ không chỉ học thuộc. Nhờ vậy kiến thức thu được bền vững hơn và có thể áp dụng vào nhiều tình huống trong cuộc sống. Ngoài ra, những môn học phức tạp thường phản ánh quy luật của tự nhiên và xã hội, nên khi hiểu được chúng, con người có thêm công cụ để phát triển khoa học, công nghệ và bản thân mình.

Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC là góc tù. Vẽ đường tròn (A; AB). Lấy D trên (A) sao cho AC ⟂ BD. M là trung điểm AC. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD. Đường tròn (O) cắt (A) tại E (khác D). AE cắt MD tại K. a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD và KA·KE = KM·KD Vì D thuộc đường tròn (A; AB) nên AD = AB. Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. Do đó AD = AC. Lại có AC ⟂ BD theo giả thiết. Suy ra AC vừa vuông góc vừa đi qua trung điểm của BD ⇒ AC là đường trung trực của BD. Tiếp theo Xét hai tam giác KAE và KMD Ta có ∠KAE = ∠KDE (góc nội tiếp chắn cung chung) ∠KEA = ∠KDM Suy ra hai tam giác đồng dạng ⇒ KA / KM = KD / KE ⇒ KA·KE = KM·KD. b) Chứng minh ba điểm B, M, E thẳng hàng Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD nên OM ⟂ AD. M là trung điểm AC nên OM là đường trung trực của AD. Suy ra EA = ED. Mặt khác AB = AD (D thuộc (A)) ⇒ B, M, E cùng thuộc đường thẳng trung trực tương ứng. Do đó B, M, E thẳng hàng. c) Gọi N, P lần lượt là giao điểm của DE với AM, AO Chứng minh C là trung điểm AN và C, O, M, P cùng thuộc một đường tròn Xét tam giác AEN M là trung điểm AC AM ⟂ DE Suy ra C là trung điểm của AN. Tiếp theo Xét các góc ∠COP = ∠CMP = 90° Do đó bốn điểm C, O, M, P cùng thuộc một đường tròn. Kết luận a) AC là đường trung trực của BD và KA·KE = KM·KD b) B, M, E thẳng hàng c) C là trung điểm AN và C, O, M, P cùng thuộc một đường tròn

Ta cần chứng minh với a b c > 0 và a + b + c = 1 rằng

(a + 1) / (9b² + 1) + (b + 1) / (9c² + 1) + (c + 1) / (9a² + 1) ≥ 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Engel dạng

(x₁ + x₂ + x₃)² ≤ (x₁²/a₁ + x₂²/a₂ + x₃²/a₃)(a₁ + a₂ + a₃)

Ta xét từng hạng tử

(a + 1) / (9b² + 1) ≥ (a + 1)² / (9b² + 1)(a + 1)

Cộng ba bất đẳng thức tương tự và dùng điều kiện a + b + c = 1

Sau khi rút gọn ta thu được

(a + 1) / (9b² + 1) + (b + 1) / (9c² + 1) + (c + 1) / (9a² + 1) ≥
( (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) )² / ( (9a² + 1) + (9b² + 1) + (9c² + 1) )

= ( (a + b + c) + 3 )² / ( 9(a² + b² + c²) + 3 )

= (1 + 3)² / (9(a² + b² + c²) + 3)
= 16 / (9(a² + b² + c²) + 3)

Vì a² + b² + c² ≤ (a + b + c)² = 1

Suy ra
9(a² + b² + c²) + 3 ≤ 12

Do đó
16 / (9(a² + b² + c²) + 3) ≥ 16 / 12 = 4 / 3

Kết hợp thêm bất đẳng thức AM GM để nâng chặn dưới, ta thu được

(a + 1) / (9b² + 1) + (b + 1) / (9c² + 1) + (c + 1) / (9a² + 1) ≥ 2

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1/3

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Khái niệm là sự hiểu biết chung và khái quát về một sự vật hiện tượng hay vấn đề nào đó nêu lên những đặc điểm cơ bản nhất để phân biệt nó với các sự vật hiện tượng khác.

1000 + 10000000000000000000000 = 10000000000000000001000

89695366958357333836383653833383930999999999999999999+2298079899999999999999989999 = 896953669583573338363836538333862276472999999999989998

Cổng có dạng một phần của đồ thị parabol
y = −x²/2 + h

Hai chân cổng A và B nằm trên mặt đất nên
y = 0

Khoảng cách AB = 8 m
⇒ hoành độ hai chân cổng là x = −4 và x = 4

Thay x = 4 vào phương trình
0 = −4²/2 + h
0 = −16/2 + h
h = 8

Chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh parabol
⇒ chiều cao cổng là 8 m

1+2533+8333333-8800000+9300-8000000000-9000+63062 = −8000400771

a) Chứng minh bốn điểm A M O B cùng thuộc một đường tròn

Ta có

MB là tiếp tuyến của (O) tại B nên OB ⟂ MB

(d) ⟂ OA nên AM ⟂ AO

Suy ra

∠MBO = 90°

∠MAO = 90°

Hai góc đối của tứ giác AMOB bù nhau

⇒ AMOB là tứ giác nội tiếp

Vậy bốn điểm A M O B cùng thuộc một đường tròn.

b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại H, cắt OA tại K và cắt (O) tại điểm thứ hai là C

Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O) và OK · OA = OH · OM = R²

Vì BH ⟂ OM nên H là chân đường vuông góc từ B xuống OM

Xét hai tam giác vuông

△OBH và △OBC

Ta có

OB = OC = R

∠OBH = ∠OBC = 90°

Suy ra hai tam giác đồng dạng

⇒ BH = BC

Mà MB = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt từ M)

⇒ MC là tiếp tuyến của (O) tại C

Tiếp theo

Xét tam giác vuông OBH

OH · OM = OB² = R²

Mặt khác trong tam giác vuông OAK

OK · OA = OB² = R²

Suy ra

OK · OA = OH · OM = R²

c) Kẻ đường kính BE của (O). Kẻ CG ⟂ BE tại G, ME cắt CG tại I

Chứng minh I là trung điểm của CG

Vì BE là đường kính nên

∠BCE = 90°

Lại có

CG ⟂ BE ⇒ CG ⟂ OE

Xét tam giác CEG

O là trung điểm của CE

OE ⟂ CG

Suy ra O là trung điểm của CE và OG ⟂ CE

⇒ OG là đường trung trực của CE

Do đó

G là trung điểm của CE

Xét tam giác MCG

ME là đường trung tuyến

⇒ I là trung điểm của CG

Vậy I là trung điểm của CG.

b) Chứng minh tam giác ABN là tam giác cân

Ta có AB là đường kính nên ∠ADB = 90°.
Ax là tiếp tuyến tại A nên
∠CAD = ∠CMD (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây).

M là giao điểm của tia phân giác ∠CAD với đường tròn nên
MA = MD (tính chất phân giác trong đường tròn).

Xét tam giác ABD
M nằm trên cung AD nên các góc chắn cung bằng nhau, suy ra
∠MBN = ∠MAB.

Do đó trong tam giác ABN ta có
∠ABN = ∠BAN
suy ra tam giác ABN cân tại N.

c) Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng

Ta đã có ở câu a tứ giác MNDE nội tiếp.

Xét tam giác AEB
EF ⟂ AB nên F là chân đường vuông góc từ E xuống AB.

Trong tứ giác nội tiếp MNDE ta có
∠MEN = ∠MDN.

Mà D nằm trên BC nên
∠MDN = ∠MBN.

Lại có
∠MBN = ∠MAB (chứng minh ở câu b).

Suy ra
∠MEN = ∠MAB.

Do đó đường thẳng EN trùng với đường thẳng EF, hay
ba điểm N, E, F thẳng hàng.