Bài giải
Đặt hệ trục tọa độ với gốc tại A, trục Ox trùng AB, trục Oy trùng AC.
Khi đó:
A(0;0), B(b;0), C(0;c) với b = AB, c = AC và 0 < b < c.
Suy ra phương trình đường thẳng BC là:
cx + by = bc.
Vì AH vuông góc BC nên AH có hệ số góc là b/c, do đó:
AH: y = (b/c)x.
Gọi s = b² + c².
Tọa độ H là nghiệm của hệ
y = (b/c)x
cx + by = bc
suy ra
H(bc²/s ; b²c/s).
Do E là hình chiếu của H trên AB, F là hình chiếu của H trên AC nên
E(bc²/s ; 0), F(0 ; b²c/s).
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật và OH = OF
Ta có:
AE nằm trên AB nên AE song song Ox.
HF vuông góc AC nên HF song song AB, do đó AE // HF.
Tương tự:
AF nằm trên AC nên AF song song Oy.
EH vuông góc AB nên EH song song AC, do đó AF // EH.
Vậy AEHF là hình bình hành.
Lại có AB vuông góc AC nên AE vuông góc AF.
Hình bình hành AEHF có một góc vuông nên AEHF là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AH và EF.
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên O là trung điểm của AH và EF.
Mà trong hình chữ nhật thì hai đường chéo bằng nhau:
AH = EF.
Suy ra:
OH = AH/2, OF = EF/2
nên OH = OF.
b) Chứng minh CF.CH = CA.CD và FH là tia phân giác của góc EFD
Trước hết, ta tính CF.
Vì F(0 ; b²c/s) và C(0;c) nên
CF = c - b²c/s = c(s - b²)/s = c³/s.
Trong tam giác vuông ABC, AH là đường cao nên
AC² = CH.BC.
Mà BC = căn(s), AC = c
nên
CH = c²/căn(s).
Xét hai tam giác CDF và CBA:
góc CDF = 90 độ = góc CAB,
góc FCD = góc ACB.
Suy ra tam giác CDF đồng dạng tam giác CBA.
Do đó:
CD/CA = CF/CB
suy ra
CD = CA.CF/CB = c.(c³/s)/căn(s) = c⁴/(s.căn(s)).
Vậy:
CF.CH = (c³/s).(c²/căn(s)) = c⁵/(s.căn(s)),
CA.CD = c.c⁴/(s.căn(s)) = c⁵/(s.căn(s)).
Suy ra:
CF.CH = CA.CD.
Bây giờ chứng minh FH là tia phân giác của góc EFD.
Ta có:
EH = b²c/s,
FH = bc²/s.
Trong tam giác vuông EHF,
tan góc EFH = EH/FH = (b²c/s)/(bc²/s) = b/c.
Trong tam giác vuông ABC,
tan góc ACB = AB/AC = b/c.
Suy ra:
góc EFH = góc ACB.
Mặt khác, HF // AB và FD vuông góc BC nên
góc HFD = 90 độ - góc ABC = góc ACB.
Vậy:
góc EFH = góc HFD.
Do đó FH là tia phân giác của góc EFD.
c) Kẻ DK vuông góc AB tại K. Chứng minh BF vuông góc KH
Vì DK vuông góc AB nên K là hình chiếu của D trên AB, do đó K có tung độ bằng 0.
Ta tìm hoành độ của D.
Đường thẳng FD vuông góc BC nên có hệ số góc bằng b/c.
Vì đi qua F(0 ; b²c/s) nên phương trình FD là
y - b²c/s = (b/c)x.
Giao điểm D của FD với BC thỏa mãn:
cx + by = bc
và
y = (b/c)x + b²c/s.
Thế vào:
cx + b[(b/c)x + b²c/s] = bc
suy ra
(c² + b²)x = bc(c - b²c/s).
Vì c - b²c/s = c³/s nên
xD = bc⁴/s².
Do đó:
K(bc⁴/s² ; 0).
Bây giờ tính hệ số góc của BF và KH.
Hệ số góc của BF là
mBF = (b²c/s - 0)/(0 - b) = -bc/s.
Hệ số góc của KH là
mKH = (b²c/s - 0)/(bc²/s - bc⁴/s²)
= (b²c/s)/[bc²(s - c²)/s²]
= (b²c/s)/(b³c²/s²)
= s/(bc).
Suy ra:
mBF . mKH = (-bc/s).(s/(bc)) = -1.
Vậy BF vuông góc KH.
Kết luận:
a) AEHF là hình chữ nhật và OH = OF.
b) CF.CH = CA.CD và FH là tia phân giác của góc EFD.
c) BF vuông góc KH.
