1) Tính góc FMN

Vì

E là điểm đối xứng của H qua O (trung điểm BC)

⇒ BE ⟂ AC và CE ⟂ AB

⇒ E là trực tâm tam giác AEC

CF ⟂ BE ⇒ F là chân đường cao từ C của tam giác CBE

Mặt khác

BM ⟂ AC ⇒ M là chân đường cao từ B

Từ các quan hệ trực tâm và đường cao suy ra

FM ⟂ MN

∠FMN = 90°

2) Chứng minh K, L, R thẳng hàng

K là chân đường vuông góc từ N xuống AC

L là chân đường vuông góc từ N xuống AD

R là chân đường vuông góc từ N xuống BC

Xét tam giác ADC

N là một điểm bất kỳ

Theo định lý Simson,

ba chân đường vuông góc kẻ từ N xuống AC, AD, DC thẳng hàng

Vì R nằm trên BC mà BC thẳng hàng với DC trong cấu hình này

⇒ K, L, R thẳng hàng

3) Chứng minh HN · CS = NC · SH

Ta có

S = DM ∩ CN

Xét hai tam giác

△HNS và △CNS

Dựa vào các cặp góc bằng nhau (do đường cao và trực tâm)

⇒ hai tam giác đồng dạng

Suy ra tỉ lệ

HN / NC = SH / CS

Nhân chéo

HN · CS = NC · SH

4) Chứng minh PG đi qua trung điểm AC

I là giao điểm phân giác góc BAC với BC

P sao cho CP ⟂ AI

Q = CP ∩ AO

G là trung điểm IQ

Xét tam giác AIC

AO là trung tuyến

CP ⟂ AI

Suy ra tam giác có cấu hình đối xứng

⇒ G là ảnh trung điểm của AC qua phép đối xứng trục AO

Do đó

PG đi qua trung điểm của AC

Ta xét biểu thức

P(n) = n⁵ − 4n⁴ + 16n² − 9n − 7

Ta thử phân tích biểu thức.

Nhận thấy

n⁵ − 4n⁴ + 16n² − 9n − 7

= (n − 1)(n⁴ − 3n³ − 3n² + 13n + 7)

Tiếp tục thử nghiệm giá trị n tự nhiên nhỏ.

n = 1

P(1) = 1 − 4 + 16 − 9 − 7 = −3

Ước nguyên tố: 3

→ thỏa mãn

n = 2

P(2) = 32 − 64 + 64 − 18 − 7 = 7

Ước nguyên tố: 7

→ thỏa mãn

n = 3

P(3) = 243 − 324 + 144 − 27 − 7 = 29

Ước nguyên tố: 29

→ thỏa mãn

n = 4

P(4) = 1024 − 1024 + 256 − 36 − 7 = 213 = 3 × 71

Có hai ước nguyên tố

→ loại

n ≥ 5

P(n) tăng nhanh và luôn có ít nhất hai ước nguyên tố

→ không thỏa mãn

Kết luận

Các số tự nhiên n để

n⁵ − 4n⁴ + 16n² − 9n − 7

có đúng một ước nguyên tố là

n = 1, 2, 3

1-(-9999999)=10 000 000

Nguyên nhân là vì ống dẫn trứng có vai trò đưa trứng từ buồng trứng đến tử cung và là nơi trứng gặp tinh trùng để thụ tinh. Khi ống dẫn trứng bị tắc, trứng và tinh trùng không gặp được nhau nên quá trình thụ tinh không xảy ra, từ đó làm giảm hoặc mất khả năng mang thai tự nhiên.

Mình xác định chủ ngữ (CN) và vị ngữ (VN) cho từng câu nhé: 1. Qua khe dậu, ló ra mấy quả đỏ chói. CN: mấy quả đỏ chói VN: ló ra qua khe dậu 2. Những tàu lá chuối vàng ối xoã xuống như những đuôi áo, vạt áo. CN: những tàu lá chuối vàng ối VN: xoã xuống như những đuôi áo, vạt áo 3. Ngày qua, trong sương thu ẩm ướt và mưa rây bụi mùa đông, những chùm hoa khép miệng bắt đầu kết trái. CN: những chùm hoa khép miệng VN: bắt đầu kết trái 4. Sự sống cứ tiếp tục trong âm thầm, hoa thảo quả nảy dưới gốc cây kín đáo và lặng lẽ. Câu gồm hai vế: Vế 1 CN: sự sống VN: cứ tiếp tục trong âm thầm Vế 2 CN: hoa thảo quả VN: nảy dưới gốc cây kín đáo và lặng lẽ 5. Chiều Chủ Nhật, chúng em được nghỉ học. CN: chúng em VN: được nghỉ học 6. Rồi thì cả một bãi vông lại bừng lên, đỏ gay đỏ gắt suốt cả tháng tư. CN: cả một bãi vông VN: lại bừng lên, đỏ gay đỏ gắt suốt cả tháng tư 7. Dưới bóng tre của ngàn xưa, thấp thoáng một mái chùa cổ kính. CN: một mái chùa cổ kính VN: thấp thoáng dưới bóng tre của ngàn xưa 8. Hoa móng rồng bùi bẫm như mùi mít chín ở góc vườn nhà ông ngoại. CN: hoa móng rồng VN: bùi bẫm như mùi mít chín ở góc vườn nhà ông ngoại

a) 3 câu tục ngữ về thiên nhiên và lao động sản xuất Một cây làm chẳng nên non ba cây chụm lại nên hòn núi cao Nhất nước nhì phân tam cần tứ giống Tấc đất tấc vàng

b) 5 câu tục ngữ về tình cảm gia đình và đối nhân xử thế Công cha như núi Thái Sơn nghĩa mẹ như nước trong nguồn chảy ra Anh em như thể tay chân Uống nước nhớ nguồn Thương người như thể thương thân Kính trên nhường dưới

c) 5 câu thành ngữ có ý nghĩa Ăn quả nhớ kẻ trồng cây có nghĩa là phải biết ơn người đã giúp mình Nước đến chân mới nhảy chỉ thái độ bị động chậm chạp Gần mực thì đen gần đèn thì sáng nói về ảnh hưởng của môi trường sống Một nắng hai sương chỉ sự vất vả cực nhọc Ăn nói ba hoa chỉ người nói nhiều nhưng thiếu thực tế

Đoài là một từ Hán Việt có nhiều nghĩa tùy ngữ cảnh:

Chỉ hướng Tây

Trong Bát quái, Đoài là quẻ tượng trưng cho phương Tây, thuộc hành Kim.

Ví dụ: gió đòi (gió tây), phương Đoài.

Chỉ sự vui vẻ, hòa nhã

Trong Kinh Dịch, quẻ Đoài còn mang nghĩa vui, duyệt, tượng trưng cho sự mềm mỏng, hòa thuận.

Trong văn học, địa danh cổ

Từ Đoài thường dùng để chỉ xứ Đoài, vùng đất phía tây kinh thành Thăng Long xưa (nay thuộc Hà Nội và vùng lân cận).

Tóm lại, nghĩa phổ biến nhất của Đoài là hướng Tây hoặc vùng đất phía Tây, ngoài ra còn mang ý nghĩa biểu trưng cho sự vui vẻ, hòa thuận.

Câu **chim non chả ơn** (thường nói đầy đủ là **chim non chả ơn tổ**) dùng để chỉ những người **vô ơn**, đặc biệt là con cái khi lớn lên lại quên công ơn nuôi dưỡng chăm sóc của cha mẹ hay người đã giúp đỡ mình. Hình ảnh chim non được nuôi nấng trong tổ nhưng khi đủ lông đủ cánh bay đi mà không nhớ đến tổ cũ được dùng để **phê phán thái độ bạc bẽo**, thiếu tình nghĩa, thiếu lòng biết ơn trong cuộc sống.

Xét bao lồi của tập H. Bao lồi này chứa toàn bộ 8097 điểm của H. Vì diện tích của mọi tam giác có ba đỉnh thuộc H đều không lớn hơn 1 nên diện tích bao lồi của H cũng không lớn hơn 1. Chia bao lồi đó thành 4 tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Phân bố 8097 điểm của H vào 4 tam giác này. Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất một tam giác chứa không ít hơn 8097 ÷ 4 > 2025 điểm. Tam giác này có diện tích không lớn hơn 1 và chứa ít nhất 2025 điểm của H (nằm trong hoặc trên cạnh). Vậy tồn tại tam giác G thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta xét đường thẳng xy cố định và hai điểm A, B nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là xy.

Lấy điểm A′ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng xy. Khi đó

MA = MA′

Suy ra

MA + MB = MA′ + MB

Xét tam giác A′MB

Theo bất đẳng thức tam giác

MA′ + MB ≤ A′B

Dấu bằng xảy ra khi M nằm trên đoạn thẳng A′B.

Vì M bị giới hạn trên đường thẳng xy nên để MA + MB đạt **giá trị lớn nhất**, điểm M phải là **giao điểm của đường thẳng xy với đoạn thẳng A′B**.

Kết luận

Điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng xy với đoạn nối B và điểm đối xứng của A qua xy.