Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho \(n^2+5n-13⋮121\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2-6n+9\right)+11n-22⋮11\) ( Do \(121⋮11\) )

\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2+11\left(n-2\right)⋮11\)

\(\Rightarrow\left(n-3\right)^2⋮11\)

Mà 11 là số nguyên tố \(\Rightarrow n-3⋮11\) \(\Rightarrow n=11a+3\left(a\in N\right)\)Thay n = 11a + 3 vào ta có:\(\left(11a+3\right)^2+5\left(11a+3\right)-13=121a^2+121a+11⋮̸121\)

\(\Rightarrow\) Vô lí điều ta đã giả sử

\(\Rightarrow\) \(\forall n\in N\) thì \(n^2+5n-13⋮̸121\) ( đpcm)

mẹ 36 tuổi

con 12 tuổi

Ok!

Ta có: \(\dfrac{AK}{KC}=2.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2-1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AK}{KC}+1=2.\dfrac{AB^2}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AK+KC}{KC}=2.\dfrac{AB.AC}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AC}{KC}=\dfrac{2AB.AC}{BC^2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{KC}=\dfrac{2AB}{BC^2}\)

\(\Leftrightarrow BC^2=KC.2AB\)

\(\Leftrightarrow BK^2+KC^2=2AB.KC\)

\(\Leftrightarrow AB^2-AK^2+KC^2=2AB.KC\)

\(\Leftrightarrow\left(AB-KC\right)^2=AK^2\)

\(\Leftrightarrow AB-KC=AK\)

\(\Leftrightarrow AB=AK+KC=AC\) ( Luôn đúng)

\(\Rightarrowđpcm\)

P/s: Gợi ý câu a:Từ H kẻ đt // AH cắt BC tại I Áp dụng hệ thức 4

\(\dfrac{321}{1051}=\dfrac{1}{\dfrac{1051}{321}}=\dfrac{1}{3+\dfrac{88}{321}}=\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{\dfrac{321}{88}}}=\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+\dfrac{-119}{88}}}\)

\(=\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{\dfrac{-88}{119}}}}=\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{5+\dfrac{1}{1+\dfrac{-207}{119}}}}\)

Vậy .........................

Ta có: \(x^2-x-1\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{4}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left|x-\dfrac{1}{2}\right|\le\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\sqrt{5}}{2}\le x-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\sqrt{5}+1}{2}\le x\le\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

Tại sao lại phải lm khó bài toán lên v????? Hình tự vẽ!

Bài làm: Nối EF

- C/m: KN // EF

+) Ta có: DN // BE ( Cùng \(\perp\) AC) \(\Rightarrow\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CD}{BC}\) (1)

+) Ta lại có: DK // BF ( Cùng \(\perp\) CF ) \(\Rightarrow\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{CD}{BC}\) (2)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow\dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CK}{CF}\) \(\Rightarrow\) KN // EF (*)

- C/m: MN // EF

+) Ta có: FH // MD ( Cùng \(\perp\) AB) \(\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AH}{AD}\) (3)

+) Ta lại có: HE // DN ( Cùng \(\perp\) AC) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AN}=\dfrac{AH}{AD}\) (4)

Từ (3); (4) \(\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AE}{AN}\) \(\Rightarrow\) EF // MN (**)

Từ (*); (**) \(\Rightarrow\) K, M, N thẳng hàng.

P/s: Bài toán mở rộng: Kẻ DI \(\perp\) BE. C/m: M, I, K, N thẳng hàng

Thôi liên hợp cho nhanh :v :v \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=5\)(đk\(-1\le x\le4\) )

<=> \(\sqrt{x+1}-\left(\dfrac{1}{3}x+1\right)+\sqrt{4-x}-\left(2-\dfrac{1}{3}x\right)\)

\(+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}-2=0\)

<=> \(\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{9\left(x+1\right)-\left(x+3\right)^2}{\sqrt{x+1}+\left(x+3\right)}\right]+\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{9\left(4-x\right)-\left(6-x\right)^2}{\sqrt{4-x}+\left(6-x\right)}\right]\)

+ \(\dfrac{\left(x+1\right)\left(4-x\right)-4}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+2}=0\)

<=> \(\dfrac{3x-x^2}{3\left[\sqrt{x+1}+\left(x+3\right)\right]}+\dfrac{3x-x^2}{3\left[\sqrt{4-x}+\left(6-x\right)\right]}\)

\(+\dfrac{3x-x^2}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+2}=0\)

<=> \(\left(3x-x^2\right)\left(\dfrac{1}{3\left[\sqrt{x+1}+\left(x+3\right)\right]}+\dfrac{1}{3\left[\sqrt{4-x}+\left(6-x\right)\right]}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+2}\right)=0\)

Dễ thấy \(\dfrac{1}{3\sqrt{x+1}+3\left(x+3\right)}+\dfrac{1}{3\sqrt{4-x}+3\left(6-x\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}+2>0\forall-1\le x\le4}\)

=> \(x\left(3-x\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\) ( TM)

P/s: Hiểu ko???????????

Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài Ở vị trí mà li độ của chất điểm là 5cm thì nó có tốc độ  5 π √ 3 cm/s. Dao động của chất điểm có chu kì là

A. 1s

B. 2s

C. 0,2s

D. 1,5

Câu 1:

Ta có: Áp dụng BĐT phụ \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)

=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\)

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge4,5\) (*)

và BĐT Cau -chy ta có:

\(P+3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\)

\(+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\)

<=> \(P+3\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)

\(+2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}+2\sqrt{\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}+2\sqrt{\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}}\)

<=> \(P+3\ge4,5+6=10,5\) ( Theo (*)) => \(P\ge7,5\)

=> Dấu = xảy ra <=> a = b = c

Bn có sai đề ko v????

Sửa đề: \(f\left(x\right)=x^2-\left(3m+2\right)x+2m+1=0\)

Ta có: \(\Delta=\left[-\left(3m+2\right)\right]^2-4\left(2m+1\right)=9m^2+4m\)

Để PT có 2 ngiệm phân biệt => \(m\left(9m+4\right)>0\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>\dfrac{-4}{9}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m< \dfrac{-4}{9}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) => \(\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< \dfrac{-4}{9}\end{matrix}\right.\)

Gọi \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm dương cần tìm và áp dụng hệ thức Vi-ét:

=> \(\left\{{}\begin{matrix}m\left(9m+4\right)>0\\x_1+x_2>0\\x_1.x_2>0\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< \dfrac{-4}{9}\end{matrix}\right.\\\dfrac{-b}{a}>0\\\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< \dfrac{-4}{9}\end{matrix}\right.\\3m+2>0\\2m+1>0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< \dfrac{-4}{9}\end{matrix}\right.\\m>\dfrac{-2}{3}\\m>\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\) => \(m>0\)

Vậy.........................................................

P/s: T ms hx qua dạng này thôi nên ko bt có đúng ko