a) Vì K nằm giữa O và B nên: OK+KB=OB

=> OK=OB-KB

Xét đg tròn (O;OB) và (K;KB) có: OK=OB-KB (c/m trên)

=> 2 đg tròn (O) và (K) tiếp xúc trong vs nhau

b) Xét đg tròn (K), đg kính OB có: \(M\in\left(K\right)\) => \(\Delta OMB\) vuông tại M

=> \(OM\perp BD\) tại M

Xét đg tròn (O), dây BD ko đi qua tâm có: \(OM\perp BD\) tại M( c/m trên)

=> M là trung điểm của BD( Trong 1 đg tròn, đg kính vuông góc vs 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét \(\Delta OBD\) có:

K là trung điểm của OB( OB là đg kính của (K))

M là trung điểm của BD(c/m trên)

=> KM là đg trung bình của \(\Delta OBD\)

=> KM // OD(t/c của đg trung bình trong tam giác)

Bạn tự vẽ hình nha!!!

a) Gọi I là trung điểm của AB => IA=IB=\(\frac{1}{2}AB\) (1)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H(\(AH\perp BC\)) có: IH là trung tuyến ứng vs AB => IH=\(\frac{1}{2}AB\) (2)

Xét \(\Delta ABK\) vuông tại K(\(BK\perp AC\)) có: IK là trung tuyến ứng vs AB => IK=\(\frac{1}{2}AB\) (3)

Từ (1), (2) và (3) => IA=IB=IH=IK (cùng =\(\frac{1}{2}AB\))

=> 4 điểm A,B,H,K cùng thuộc đg tròn (I)

b) Xét đg tròn (O), đg kính AD có: \(C\in\left(O\right)\) => \(\Delta ACD\) vuông tại C

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại C(c/m trên), đg cao CH có:

\(CD^2=DH.AD\)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Xét đg tròn (O), đg kính AD, dây BC có: \(AD\perp BC\) tại H

=> HB=HC=\(\frac{1}{2}BC\)(Trong 1 đg tròn, đg kính vuông góc vs một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy). Mà BC=24cm(gt) => HB=HC=\(\frac{1}{2}.24\)=12(cm)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H(\(AD\perp BC\) tại H) có: \(AH^2+HC^2=AC^2\)(Định lý Pytago)

<=> \(AH^2=AC^2-HC^2\)

<=> \(AH^2=20^2-12^2\)

<=> \(AH^2=256\) <=> AH=16 (cm)

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại C(c/m trên), đg cao CH có:

\(AC^2=AH.AD\)( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

<=> \(AD=\frac{AC^2}{AH}\) <=> AD=\(\frac{20^2}{16}=25\left(cm\right)\)

Mà OA=R=\(\frac{1}{2}AD\)(OA là bán kính của(O), AD là đg kính của (O))

=> OA=R= \(\frac{1}{2}.25=12,5\left(cm\right)\)

Vậy AH=16cm ; R=12,5cm

Có chỗ mình làm tắt thì bạn thông cảm cho mk nha

Bạn tự vẽ hình nha ;)

a) Xét đg tròn (O), đg kính AB có:

\(\left\{\begin{matrix}C\in\left(O\right)\\M\in\left(O\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta ABC\\\Delta ABM\end{matrix}\right.vuông \Rightarrow\left\{\begin{matrix}AC\perp BN\\BM\perp AN\end{matrix}\right.\)

Xét \(\Delta ABN\) có: \(\left\{\begin{matrix}AC\perp BN\\BM\perp AN\end{matrix}\right.\)(c/m trên)

Mà AC và BN cắt nhau tại E

=> \(NE\perp AB\)

b) Gọi giao điểm của NE và AB là I => \(NI\perp AB\)

Xét tứ giác AENF có: AN cắt EF tại M

Mà M là trung điểm của AN( A đx với N qua M)

M là trung điểm của EF(E đx với F qua M)

=> AENF là hình bình hành( Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành) => AF // EN => \(\widehat{NAF}=\widehat{ANI}\) (1) ( 2 góc so le trong)

Xét \(\Delta ANI\) vuông tại I( NI\(\perp AB\)) có: \(\widehat{ANI}+\widehat{NAI}=90^o\) (2) ( 2 góc nhọn phụ nhau)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{NAF}+\widehat{NAI}=90^o\) => \(\widehat{OAF}=90^o\) => OA\(\perp\)FAtại A

Xét đg tròn(O; OA) có: \(OA\perp FA\) tại A(c/m trên)

=> FA là tiếp tuyến của đg tròn (O)

c) Xét \(\Delta ABN\) có:

BM là trung tuyến ứng vs AN( M là trung điểm của AN)

đồng thời BM là đg cao ứng vs AN

=> \(\Delta ABN\) cân tại B( Nếu một tam giác có đg trung tuyến ứng vs một cạnh, đồng thời là đg cao ứng vs cạnh đó thì tam giác đó là tam giác cân)

=> BA=BN và BM là phân giác của góc B

=> BN là bán kính của (B)

Xét \(\Delta ABFvà\Delta NBFcó:\)

BA=BN( c/m trên)

\(\widehat{ABF}=\widehat{NBF}\)(BM là phân giác của \(\widehat{B}\))

BF là cạnh chung

=> \(\Delta ABF=\Delta NBF\left(c.g.c\right)\)

=> \(\widehat{A}=\widehat{N}\)( 2 góc tương ứng). Mà \(\widehat{A}=90^o\)

=> \(\widehat{N}=90^o\) => \(BN\perp NF\) tại N

Xét đg tròn (B;BN) có: BN\(\perp\)NF tại N( c/m trên)

=> NF là tiếp tuyến của đg tròn (B;BA)

d) Xét \(\Delta NBF\) vuông tại N(\(\widehat{N}=90^o\)) có:

\(NB^2=BM.BF\) (3)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mặt khác \(NB^2+NF^2=BF^2\)(Định lý Pytago)

=> \(NB^2=BF^2-NF^2\) (4)

Từ (3) và (4) => \(BM.BF=BF^2-NF^2\)(cùng =\(NB^2\))

Mãi ms dịch đc chữ của bạn đấy

a)Xét đg tròn (O), dây AB ko đi qua tâm có: OC đi qua trung điểm H của AB

=> \(OC\perp AB\) tại H( Trong 1 đg tròn, đg kính đi qua trung điểm của 1 dây ko đi qua tâm thì vuông góc vs dây ấy)

b) Vì \(\Delta OAC\) vuông tại A( AC là tiếp tuyến của (O)) nên OA<OC(OC là cạnh huyền)

Mà OA=OB(cùng =R) => OB<OC

c) Vì H là trung điểm của AB nên AH=\(\frac{1}{2}\)AB. Mà AB=24cm(gt)

=> AH= \(\frac{1}{2}\).24=12(cm)

Xét \(\Delta OAH\) vuông tại H(\(OC\perp AB\) tại H) có: \(AH^2+OH^2=OA^2\)(Định lý Pytago)

<=> \(OH^2=OA^2-AH^2\)

<=> \(OH^2=15^2-12^2\)

<=> \(OH^2=81 < =>OH=9\left(cm\right)\)

d) Xét đg tròn (O), đg kính AD có: B \(\in\left(O\right)\) => \(\Delta ABD\) vuông tại B

=> \(BD\perp AB\) tại B. Mà \(OC\perp AB\) tại H( c/m trên)

=> OC // BD (Quan hệ từ vuông góc đến song song)

Bài 4 mk ko làm đc câu c nha bạn

a) Vì \(\Delta ADC\) cân tại D(DA=DC) => \(\widehat{DAC}=\widehat{DCA}\) (1)

Mặt khác \(\Delta OAC\) cân tại O(OA=OC=R) => \(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{DAC}+\widehat{OAC}=\widehat{DCA}+\widehat{OCA}\)

=> \(\widehat{OAD}=\widehat{OCD}\). Mà \(\widehat{OAD}=90^o\)(d là tiếp tuyến của (O))

=> \(\widehat{OCD}=90^o\) => \(OC\perp DC\) tại C

Xét đg tròn (O;OC) có: \(OC\perp DC\) tại C(c/m trên)

=> DC là tiếp tuyến của (O)

b) Gọi E là giao điểm của AC và OD

Xét đg tròn (O), tiếp tuyến AD, DC có: AD cắt DC tại D

=> OD là phân giác của \(\widehat{AOC}\)(t/c của 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Xét \(\Delta OAC\) cân tại O(c/m trên) có: OD là phân giác của \(\widehat{AOC}\)

=> OD là đg cao ứng vs AC( Trong một tam giác cân, đg phân giác đồng thời là đg cao ứng vs cạnh đáy) => \(OD\perp AC\) tại E

Xét \(\Delta OEC\) vuông tại E(\(OD\perp AC\) tại E) có: \(\widehat{EOC}+\widehat{OCE}=90^o\) (1) (2 góc nhọn phụ nhau)

Xét đg tròn (O), đg kính AB có: C \(\in\left(O\right)\) => \(\Delta ABC\) vuông tại C

=> \(\widehat{ACB}=90^o\) => \(\widehat{OCB}+\widehat{OCE}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{EOC}=\widehat{OCB}\)( cùng phụ vs \(\widehat{OCE}\))

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> OD // BC

Chỗ nào thiếu thì thông cảm cho mk nha. Mk làm hơi tắt tí

chữ xấu quá. Ko dịch nổi bạn ơi

=3ay(a-2y)

a) gọi I là trung điểm của OM => IO=IN=1/2OM (1)

Xét đg tròn(O), đg kính AB, dây BN ko đi qua tâm có: OH đi qua trung điểm H của BN

=> OH vuông góc vs BN

Xét tam giác HOM vuông tại H có: IH là trung tuyến ứng vs OM => IH=1/2OM (2)

Xét tam giác AOM vuông tại A có: IA là trung tuyến ứng vs OM => IA=1/2OM (3)

Từ (1),(2) và (3) => IO=IM=IH=IA => 4 điểm A, M, O,H cùng thuộc đg tròn (I)

b) Xét tam giác BHO và tam giác BAM có:

góc BHO= góc BAM(cùng =90 độ)

góc B là góc chung

=> tam giác BHO đồng dạng vs tam giác BAM(g.g)

=> \(\frac{BH}{AB}=\frac{OB}{BM}\)=> BH*BM= AB*OB=> BH*BM= 2R*R=2R\(^2\)

Có chỗ nào thiếu thì thông cảm nha. Mk làm hơi tắt tí :P

câu d sai à bạn?