Áp dụng BĐT Cô sy, ta có:

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}\) \(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^6\ge2^6\) \(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^6\ge64\)

\(x^6+\frac{1}{x^6}\ge2\sqrt{x^6.\frac{1}{x^6}}\Rightarrow x^6+\frac{1}{x^6}\ge2\)

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^3\ge2^3\) \(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^3\ge8\)

\(x^3+\frac{1}{x^3}\ge2\sqrt{x^3.\frac{1}{x^3}}\Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}\ge2\)

Khi đó \(\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^3+x^3+\frac{1}{x^3}}\ge\frac{64-2-2}{8+2}\)

Hay \(\frac{\left(x+\frac{1}{x}\right)^6-\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-2}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^3+x^3+\frac{1}{x^3}}\ge6\)

a)A= \(5-\sqrt{x+\sqrt{x}+1}\). ĐKXĐ: \(x\ge0\)

Ta luôn có: \(x+\sqrt{x}\ge0\) với \(x\ge0\)

\(\Rightarrow x+\sqrt{x}+1\ge1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+\sqrt{x}+1}\ge1\)

\(\Rightarrow-\sqrt{x+\sqrt{x}+1}\le-1\)

\(\Rightarrow5-\sqrt{x+\sqrt{x}+1}\le4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy GTLN của A=4 khi x=0

b) B= \(\frac{3x+6\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+2}{1-\sqrt{x}}\). ĐKXĐ: \(x\ge0; x\ne1\)

= \(\frac{3x+6\sqrt{x}-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

= \(\frac{3x+6\sqrt{x}-x+1-x-4\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\) = \(\frac{x+2\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

= \(\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\) = \(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\frac{\left(\sqrt{x+2}\right)+1}{\sqrt{x+2}}\)

= \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Ta luôn có: \(\sqrt{x}+2\ge2\) với \(x\ge0; x\ne1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+2}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\le\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy GTLN của B=\(\frac{3}{2}\) khi x=0

Ta gọi số cần tìm là ab(ngang)

         Theo đề bài :ab chuyển thành 9ab

                              9ab-ab=900

                                ab.13=9ab

                                ab.12=900

                                ab    =900:12

                                ab     =75

Vậy ab=75

Ta luôn có: \(x^{2016}\ge0\) với \(\forall x\in R\)

\(\Rightarrow x^{2016}+2\ge2\) với \(\forall x\in R\)

\(\Rightarrow\left(x^{2016}+2\right)^5\ge2^5\)

\(\Rightarrow\left(x^{2016}+2\right)^5\ge32\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=0\)

Vậy GTNN của biểu thức trên là 32 khi x=0

\(2x^3-5x^2+5x-2=0\)

\(\Leftrightarrow2x^3-2x^2-3x^2+3x+2x-2=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2\left(x-1\right)-3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2-3x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x^2-2x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x-1=0\\\left(x-1\right)^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\Ta luôn có: \left(x-1\right)^2\ge0; \left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0; \frac{3}{4}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=1\\Pt vô nghiệm\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của pt là S={1}

50 + 50 - 50 * 50 = 100 - 2500 = -2400

a) Vì ABCD là hình thoi(gt). Mà AC và BD cắt nhau tại O

=> O là trung điểm của AC và BD (t/c của hình bình hành)

=> OB=OD. Mà BE=DF(gt)

=> OB-BE=OD-DF => OE=OF. Mà O nằm giữa E và F

=> O là trung điểm của EF

Xét tứ giác AECF có: AC cắt EF tại O

Mà O là trung điểm của AC( c/m trên )

O là trung điểm của EF( c/m trên )

=> AECF là hình bình hành (Tứ giác có 2 đ/c cắt nhau tại trung điểm của mỗi đg là hình bình hành)

b) Để AECF là hình thoi => \(AC\perp EF\) tại O

=> \(AC\perp BD\) tại O (\(E; F\in\left(O\right)\))

Xét hình bình hành ABCD có: \(AC\perp BD\) tại O (c/m trên)

=> ABCD là hình thoi (Hình bình hành có 2 đ/c vuông góc là hình thoi)

Vậy để AECF là hình thoi thì ABCD là hình thoi

c) Vì AECF là hình bình hành(c/m trên) => AF // EC (t/c của hình bình hành)

=> FM // EC ( \(M\in AF\) )

Xét \(\Delta CDE\) có: FM // EC (c/m trên)

M là trung điểm của CD (gt)

=> F là trung điểm của DE

Vậy để M là trung điểm của CD thì F là trung điểm của DE

Em có nhận xét gì về giá trị tuyệt đối và về dấu của tích hai số nguyên khác dấu ?

Nếu S123 là S\(\Delta ABC\) thì OK :)

a) Xét tứ giác AHMK có:

\(\widehat{A}=90^o\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

\(\widehat{AHM}=90^o\) (\(MH\perp AB\) tại H)

\(\widehat{AKM}=90^o\) (\(MK\perp AC\) tại K)

=> AHMK là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật)

b) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A(gt) nên S\(\Delta ABC=\frac{1}{2}.AB.AC=6\left(cm^2\right)\)

=> AB.AC=12 (\(cm^2\)) (1)

Xét \(\Delta ABC\) có: MH // AC (\(AB\perp HM; AB\perp AC\))

M là trung điểm của BC(gt)

=> H là trung điểm của AB => AB=\(2AH\) (2)

Mặt khác MK // AB (\(MK\perp AC; AB\perp AC\))

M là trung điểm của BC(gt)

=> K là trung điểm của AC => AC=2AK (3)

Từ (1), (2) và (3) => 2AH.2AK=12 (cm²)

=> 4.AH.AK=12

=> AH.AK=3 (cm²). Mà S\(AHMK=AH.AK\) (AHMK là hình chữ nhật)

=> S\(AHMK=3cm^2\)

c) Mk vẫn chưa thể nào làm đc, hihi :P

Mk sẽ cố gắng nghĩ tiếp...