a) Ta dựng hình chữ nhật ACBD.

Gọi O là giao điểm của AB và CD.
Theo tính chất của hình chữ nhật ta có OA = OB = OC = OD.
Như vậy C thuộc đường tròn đường kính AB.
b)

Gọi O là tâm đường tròn đường kính AB.
Suy ra OA = OB = OC.
Tam giác COA cân tại O nên \(\widehat{OCA}=\widehat{CAO}\).
Tam giác COB cân tại O nên \(\widehat{OCB}=\widehat{CBO}\).
Theo định lý tổng ba góc trong một tam giác:
\(\widehat{ACB}+\widehat{CAB}+\widehat{ABC}=\widehat{OCA}+\widehat{OCA}+\widehat{CAO}+\widehat{OAC}\)
\(=2\widehat{ACO}+2\widehat{OCB}=2\left(\widehat{ACO}+\widehat{OCB}\right)=2\widehat{ACB}=180^o\).
Suy ra \(\widehat{ACB}=180^o:2=90^o\) hay tam giác ABC vuông tại C.

Kẻ \(AH\perp CE\left(H\in CE\right)\).
Gọi AH giao BD tại K. Do CE // BD nên \(AK\perp BD\).
\(S_{\Delta ACE}=\dfrac{1}{2}AH.CE=\dfrac{1}{2}\left(AK+HK\right).CE\)
\(=\dfrac{1}{2}AK.CE+\dfrac{1}{2}HK.CE\)
\(=\dfrac{1}{2}AK.BD+\dfrac{1}{2}HK.BD\)
\(=S_{\Delta ABD}+S_{\Delta BDC}=S_{ABCD}\) (Đpcm).

\(24^{54}.54^{24}.2^{10}=\left(2^3.3\right)^{54}.\left(3^3.2\right)^{24}.2^{10}\)\(=2^{3.54}.3^{54}.3^{3.24}.2^{24}.2^{10}\)
\(=2^{162}.3^{54}.3^{72}.2^{72}.2^{24}.2^{10}=2^{162+72+54+10}.3^{54+72}\)\(=2^{298}.3^{126}\).
\(72=3^3.2^3\)
\(72^{63}=\left(3^3.2^3\right)^{63}=3^{189}.2^{189}\)
Như vậy đề bài sai.

Do K là trung điểm của MN nên \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\).
\(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}=\)\(-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\).

b) \(x^{4n}+5x^{2n}+9=x^{4n}+6x^{2n}+9-x^{2n}=\left(x^{2n}+3\right)^2-x^{2n}\)
\(=\left(x^{2n}-x^n+3\right)\left(x^{2n}+x^n+3\right)\).

a)\(x^{12}+x^6+1=x^{12}+2x^6+1-x^6=\left(x^6+1\right)^2-x^6\)
\(=\left(x^6+1\right)^2-\left(x^3\right)^2=\left(x^6-x^3+1\right)\left(x^6+x^3+1\right)\).

a) \(\sqrt{\left(x-2013\right)^{10}}+\sqrt{\left(x-2014\right)^{14}}=1\)
\(\Leftrightarrow\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7=1\)
Dễ dàng thấy \(x=2013\) hoặc \(x=2014\) là các nghiệm của phương trình.
Nếu \(x>2014\) khi đó \(\left|x-2013\right|^5>\left|2014-2013\right|^5>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\) .
Vì vậy mọi \(x>2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(x< 2013\) khi đó \(\left|x-2014\right|^7>\left|2013-2014\right|^7>1\) nên:
\(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7>1\).
Vì vậy mọi \(x< 2013\) đều không là nghiệm của phương trình.
Nếu \(2013< x< 2014\) khi đó:
\(\left|x-2013\right|< 1,\left|x-2014\right|< 1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< \left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\).
Ta xét tập giá trị của \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|\) với \(2013< x< 2014\).
Khi đó \(x-2013>0,x-2014< 0\).
Vì vậy \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|=x-2013+x-2014=1\).
Suy ra \(\left|x-2013\right|^5+\left|x-2014\right|^7< 1\).
vậy mọi x mà \(2013< x< 2014\) đều không là nghiệm của phương trình.
Kết luận phương trình có hai nghiệm là \(x=2013,x=2014\).

Đkxđ: \(x\ge0\)
\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x+\sqrt{x}+1}< \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-x+2\sqrt{x}-4}{3\left(x+\sqrt{x}+1\right)}< 0\)
\(\Leftrightarrow-x+2\sqrt{x}-4< 0\) ( do \(3\left(x+\sqrt{x}+1\right)>0,\forall x\ge0\) )
\(\Leftrightarrow-x+2\sqrt{x}-1-3< 0\)
\(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{x}-1\right)^2-3< 0\) luôn đúng với mọi \(x\ge0\).
Ta hoàn thành chứng minh.

\(A=\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}\)
Đặt \(a=\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}},b=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}\).
Suy ra \(a^3+b^3=10\) và \(a.b=\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}.\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}=\sqrt[3]{-27}=-3\).
Ta có
\(A^3=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)\(=10+3.\left(-3\right)\left(a+b\right)\).
Suy ra:
\(\left(a+b\right)^3+9\left(a+b\right)-10=0\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-\left(a+b\right)+10\left(a+b\right)-10=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right).\left[\left(a+b\right)^2-1\right]+10\left(a+b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)\left(a+b+1\right)+10\left(a+b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-1\right)\left[\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)+10\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-1\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)+10\right]=0\)
\(\Leftrightarrow a+b-1=0\) (do \(\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)+10>0,\forall a+b\).
\(\Leftrightarrow a+b=1\)
Hay \(A=\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}=1\).

\(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\)
\(=5^n.5^2+26.5^n+8.8^{2n}\)
\(=5^n.\left(25+26\right)+8.8^{2n}\)
\(=51.5^n+8.8^{2n}\).
Xét số dư của \(8^{2n}\) cho 59.
Ta có \(8^{2n}=64^n\). Do 64 : 59 dư 5 nên \(8^{2n}:59\) dư \(5^n\).
Vì vậy \(51.5^n+8.8^{2n}\) chia 59 dư:
\(51.5^n+8.5^n\) \(=5^n\left(51+8\right)=59.51^n\).
Do \(59.51^n\) chia hết cho 59 nên \(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\) chia hết cho 59.