\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BM}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{NC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NM}\right)+\)\(\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MC}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{NM}\).
Ta cần biểu diễn \(\overrightarrow{NM}\) theo hai véc tơ \(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{BN}\).
Gọi I là giao điểm của CM và BN, Q là trung điểm của AN.
MQ là đường trung bình của tam giác ABN nên \(MQ=\dfrac{1}{2}BN\).
Do N là trung điểm của QC và IN // MQ nên I là trung điểm của MC.
Suy ra IN là đường trung bình của tam giác QMC và \(IN=\dfrac{1}{2}MQ\).
Mặt khác \(MQ=\dfrac{1}{2}BN\) nên \(MQ=\dfrac{1}{2}BN\).
Suy ra \(IN=\dfrac{1}{4}BN\).
Vì vậy \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IM}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CM}\).
Từ đó ta có:
\(\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MC}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{NM}\)\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MC}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CM}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CM}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CM}\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CM}\).

Giả thiết của đề bài như bị thiếu.

\(91a+13b=13\left(7a+b\right)⋮13\).
mà \(91a+13b=a+4b+9\left(10a+b\right)\).
Do \(a+4b⋮13\) nên \(9\left(10a+b\right)⋮13\).
Vì 9 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau nên \(10a+b⋮13\).(Đpcm).

Thay \(A\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{2}\right)\) vào phương trình \(y=\left(2m-1\right)x+m-5\) ta có:
\(-\dfrac{9}{2}=\left(2m-1\right).\left(-\dfrac{1}{2}\right)+m-5\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{9}{2}=-\dfrac{9}{2}\).
vậy \(A\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{9}{2}\right)\) luôn thuộc đường thẳng (D1) hay đường thẳng (D1) luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là: \(y=ax+b\).
A thuộc đường thẳng \(y=ax+b\) nên:
\(0.a+b=2\Leftrightarrow b=2\).
B thuộc đường thẳng \(y=ax+b\) nên:
\(\left(-3\right)a+b=4\) \(\Leftrightarrow a=\dfrac{4-b}{-3}\)\(=\dfrac{4-2}{-3}=-\dfrac{2}{3}\).
Vậy phương trình đường thẳng AB là: \(y=-\dfrac{2}{3}x+2\).
Do \(-\dfrac{2}{3}.6+2=-2\) nên C thuộc đường thẳng AB hay A, B, C thẳng hàng.

E là điểm nào vậy bạn ?

Nên cho a, b, c không âm chăng?

\(\left(1+\dfrac{b}{a}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{c}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=8abc\).
Áp dụng BĐT cô-si cho hai số không âm ta có:
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a=b=c\) hay tam giác ABC đều.

2.
a) Đkxđ \(x\ge2\).
\(5\sqrt{x-2}=10+\sqrt{9x-18}\)
\(\Leftrightarrow5\sqrt{x-2}=10+\sqrt{9\left(x-2\right)}\)
\(\Leftrightarrow5\sqrt{x-2}=10+3\sqrt{x-2}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-2}=10\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=5\)
\(\Leftrightarrow x-2=5^2\)
\(\Leftrightarrow x=27\).
b)
\(\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=5\)
\(\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=\sqrt{5}\\2x-1=-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\sqrt{5}+1\\2x=-\sqrt{5}+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\\x=\dfrac{-\sqrt{5}+1}{2}\end{matrix}\right.\)