Ta có
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{2MC}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+\)\(2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)\)
\(=4\overrightarrow{MI}+\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}\right)\).

Theo tính chất trung điểm ta có:
\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IJ}=-2\overrightarrow{IC}\).
Vì vậy \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{IC}=2\left(-\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IC}\right)=\overrightarrow{0}\).
Suy ra \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}\).
Do đó: \(\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MI}\) hay 3 điểm M, N, I thẳng hàng.

\(\left|a-b\right|=\left|\dfrac{5n-1}{4}-\dfrac{3n+12}{12}\right|=\left|n-\dfrac{5}{4}\right|\).
Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên liên tiếp thì \(\left|a-b\right|=1\) nghĩa là:
\(\left|n-\dfrac{5}{4}\right|=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n-\dfrac{5}{4}=-1\\n-\dfrac{5}{4}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=\dfrac{1}{4}\\n=\dfrac{9}{4}\end{matrix}\right.\) (mâu thuẫn do \(n\in N\)).
Vậy \(a,b\) không đồng thời là hai số tự nhiên liên tiếp với \(n\in N\).

- Tick giảm điểm âm cho tớ đi các tình iu <33

\(\dfrac{\sqrt{45+27\sqrt{2}}+\sqrt{45-27\sqrt{2}}}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}-\sqrt{5+3\sqrt{2}}}-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{9\left(5+3\sqrt{2}\right)}+\sqrt{9\left(5-3\sqrt{2}\right)}}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}-\sqrt{5-3\sqrt{2}}}-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
\(=\dfrac{3\left(\sqrt{5+3\sqrt{2}}+\sqrt{5-3\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{5+3\sqrt{2}}+\sqrt{5-3\sqrt{2}}}-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
\(=3-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\)
\(=\dfrac{6-\sqrt{14}}{2}\).

\(\left(x-3\right)^{x+2017}-\left(x-3\right)^{x+2019}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^{x+2017}=\left(x-3\right)^{x+2019}\).
Nếu \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\). Khi đó:
\(0^{3+2017}=0^{3+2019}\)\(\Leftrightarrow0=0\) (luôn đúng).
Nếu \(x-3\ne0\Leftrightarrow x\ne3\). Khi đó:
\(\left(x-3\right)^{x+2017}=\left(x-3\right)^{x+2019}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-3\right)^{x+2019}}{\left(x-3\right)^{x+2017}}=1\)\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=1\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=1\\x-3=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=2\end{matrix}\right.\).
Vậy \(x\in\left\{-1;1;3\right\}\).

Gọi K là trung điểm của BC.
Do I là trọng tâm của tam giác ABC nên \(I\in AK\). Vì vậy \(I\in mp\left(AKD\right)\).
Do J là trọng tâm của tam giác BCD nên \(J\in DK\). Vì vậy \(J\in mp\left(ADK\right)\).
Mặt khác M là trung điểm của AD nên \(M\in mp\left(ADK\right)\).
Vậy mp(MIJ) chính là mặt phẳng (ADK).
Thiết diện tạo bởi (MIJ) và tứ diện là tam giác ADK.

\(y'=\dfrac{cosx}{sinx}\), \(y''=-\dfrac{1}{sin^2x}\).
Vì vậy:
\(y'+y''.sinx+tanx=\dfrac{cosx}{sinx}+\dfrac{-1}{sin^2x}.sinx+\dfrac{sinx}{cosx}\)
\(=\dfrac{cosx}{sinx}+\dfrac{-1}{sinx}+\dfrac{sinx}{cosx}\)
\(=\dfrac{cosx-1}{sinx}+\dfrac{sinx}{cosx}\)\(=\dfrac{cos^2x+sin^2x-cosx}{sinx.cosx}=\dfrac{1-cosx}{sinx.cosx}\).
Bạn xem lại đề nhé.

Ta có \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\).
Suy ra \(x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\)\(\ge\dfrac{\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\dfrac{\left(x+y\right)^4}{8}\). (đpcm).