\(\sqrt{3}.cos3x-sin3x=2\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}.cos3x-\dfrac{1}{2}.sin3x=1\)\(\Leftrightarrow sin\dfrac{\pi}{3}.cos3x-cos\dfrac{\pi}{3}.sin3x=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(\dfrac{\pi}{3}-3x\right)=1\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\pi}{3}-3x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)\(\Leftrightarrow3x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}-k2\pi\)\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{2k\pi}{3}\).

a)Tam giác AHC vuông tại H có I là trung điểm của AC nên IA = IC = IH.
Suy ra \(IH=\dfrac{AC}{2}=7,5\left(cm\right)\).
b) Tứ giác AHCM có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành thêm nữa có \(\widehat{AHC}=90^o\) nên tứ giác AHCM là hình chữ nhật.
c) Tứ giác AHCM là hình vuông khi và chỉ khi AH = HC hay tam giác ABC cân tại A.

Bạn nên xem lại đề vì M, N không liên quan tới các giả thiết của bài toán.

Tứ giác MPNQ luôn là hình bình hành.

Với mọi a, b ta luôn có \(a^2+b^2\ge2ab\).
Suy ra \(a^2+b^2+2ab\le2\left(a^2+b^2\right)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le4\).
Suy ra \(\left|a+b\right|\le2\Leftrightarrow-2\le a+b\le2\).
Vì vậy \(a+b\le2\).

Dễ thấy các cặp (x,y) mà x - y = 0 hoặc x + y = 0 đều không là nghiệm của hệ phương trình.
Ta có:
\(\dfrac{\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}=\dfrac{32}{20}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}=\dfrac{8}{5}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+2xy+y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{8}{5}\).

Suy ra \(5\left(x^2+2xy+y^2\right)=8\left(x^2+y^2\right)\) \(\Leftrightarrow3x^2-10xy+3y^2=0\). (*)
Nếu x = 0 thì \(3y^2=0\Leftrightarrow y=0\) (mâu thuẫn).
Vì vậy \(x\ne0\), chia hai vế của phương trình (*) cho \(x^2\) ta được:
\(3\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-10\dfrac{y}{x}+3=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{y}{x}=3\\\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\).
Th1 \(\dfrac{y}{x}=3\Leftrightarrow y=3x\).
Khi đó: \(\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(3x-x\right)\left(9x^2+x^2\right)=20\)\(\Leftrightarrow2x.10x^2=20\)\(\Leftrightarrow x=1\).
vậy \(x=1,y=3.1=3\).
Th2 \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{3}\) \(\Leftrightarrow x=3y\).
Khi đó: \(\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(3y-y\right)\left(9y^2+y^2\right)=20\)\(\Leftrightarrow2y.10y^2=20\)\(\Leftrightarrow y=1\).
vậy \(y=1,x=3.1=3\).

dù k chat vs bn nhưng cũng chúc bn ngủ ngon mơ đẹp nha

a) \(x_G=\dfrac{-3+1+\left(-1\right)}{3}=-1,\) \(y_G=\dfrac{-5+1+\left(-5\right)}{3}=-3\).
Vậy \(G\left(-1;-3\right)\).
Do điểm I thuộc trục hoành nên \(I\left(x,0\right)\).
Do điểm I thuộc đường thẳng BG nên \(\overrightarrow{BI}=k\overrightarrow{BG}\).
\(\overrightarrow{BI}\left(x-1;-1\right)\), \(\overrightarrow{BG}\left(-2;-4\right)\).
Suy ra \(\dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{-1}{-4}\Leftrightarrow4\left(x-1\right)=-2\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\).
Vậy \(I\left(\dfrac{1}{2};0\right)\).
b) Ta tìm điểm I sao cho \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\).
Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\)\(=2\overrightarrow{MQ}+4\overrightarrow{MN}\) (Q là trung điểm của AC và N là trung điểm của BC).
\(2\overrightarrow{MQ}+4\overrightarrow{MN}=2\left(\overrightarrow{MQ}+2\overrightarrow{MN}\right)=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MQ}+2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}\).

Vậy điểm M thuộc đoạn NQ sao cho MQ = 2MN.
Giả sử có điểm I sao cho \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{CB}\) \(\Leftrightarrow4\overrightarrow{IM}=2\overrightarrow{CB}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\).

Vậy điểm I được xác định sao cho \(\overrightarrow{IM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\).

\(x_1x_2=81\Leftrightarrow log_3x_1x_2=log_381\)\(\Leftrightarrow log_3x_1+log_3x_2=4\).
Đặt \(t=log_3x\). Phương trình trở thành:
\(t^2-mt+2m-7=0\). (*)
Ta cần tìm m sao cho (*) có hai nghiệm \(t_1,t_2\) thỏa mãn \(t_1+t_2=4\). (1)
(1) Tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4\left(2m-7\right)\ge0\\m=4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m=4\).
Vậy m = 4 là giá trị cần tìm.