Question

Cho A = 5^{n + 2} + 26.5ⁿ + 8^{2n + 1} . Chứng minh A \(⋮\) 59

Answer 1

\(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\)
\(=5^n.5^2+26.5^n+8.8^{2n}\)
\(=5^n.\left(25+26\right)+8.8^{2n}\)
\(=51.5^n+8.8^{2n}\).
Xét số dư của \(8^{2n}\) cho 59.
Ta có \(8^{2n}=64^n\). Do 64 : 59 dư 5 nên \(8^{2n}:59\) dư \(5^n\).
Vì vậy \(51.5^n+8.8^{2n}\) chia 59 dư:
\(51.5^n+8.5^n\) \(=5^n\left(51+8\right)=59.51^n\).
Do \(59.51^n\) chia hết cho 59 nên \(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\) chia hết cho 59.