a) \(\sqrt{4x^2-4x+1}\le5-x\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}\le5-x\)
\(\Leftrightarrow\left|2x-1\right|\le5-x\).
Để bất phương trình có nghiệm thì \(5-x\ge0\Leftrightarrow x\le5\).
Nếu \(x\le\dfrac{1}{2}\), bất phương trình trở thành:
\(1-2x\le5-x\Leftrightarrow-x\le4\)\(\Leftrightarrow x\ge-4\).
vậy \(-4\le x\le\dfrac{1}{2}\) là nghiệm của bất phương trình. (1)
nếu \(\dfrac{1}{2}\le x\le5\), bất phương trình trở thành:
\(2x-1\le5-x\Leftrightarrow3x\le6\)\(\Leftrightarrow x\le2\).
vậy \(\dfrac{1}{2}\le x\le2\) là nghiệm của bất phương trình. (2)
kết hợp điều kiện (1) và (2) ta có \(-4\le x\le2\) là nghiệm của bất phương trình.

1) \(1+tan^2\alpha=1+\dfrac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\dfrac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\) (đpcm).

2a + 35 = 56

2a = 56 - 35

2a = 21

a = 21 : 2

a = 10,5 hc \(\frac{21}{2}\)

a)Có N, Q là trung điểm của AB và AD nên NQ là đường trung bình của tam giác ABD suy ra \(NQ=\dfrac{1}{2}BD\) và NQ // BD. (1)
Tương tự \(OP=\dfrac{1}{2}BD\) và OP // BD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác NQPO là hình bình hành.
b) Nếu \(AC\perp BD\) và giả sử AC cắt BD tại E.
Có EF // KO và KE // OF nên tứ giác KOFE là hình bình hành.
Khi đó do tứ giác KOFE là hình bình hành và \(\widehat{KEF}=90^o\).
Nên tứ giác KOFE là hình chữ nhật, từ đó suy ra \(\widehat{KOF}=90^o\).
Hình bình hành NOPQ có \(\widehat{NOP}=90^o\) nên là hình chữ nhật.

Trước hết ta tìm điểm I sao cho \(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).
Nếu \(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{IA}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IB}\).
Vậy điểm I sao cho I thuộc đoạn AB và \(IA=\dfrac{1}{2}IB\).
Ta cũng tìm điểm K sao cho:\(4\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\)
Nếu:
\(4\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow4\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{CK}+\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow3\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{BC}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{KB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
Vậy điểm K thuộc đường thẳng BC sao cho B nằm giữa K và C và \(KB=\dfrac{1}{3}BC\).
Bây giờ:
\(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|4\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{MI}\right|=\left|4\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MK}\right|\)
\(\Leftrightarrow3\left|\overrightarrow{MI}\right|=3\left|\overrightarrow{MK}\right|\)
\(\Leftrightarrow3.MI=3.MK\)
\(\Leftrightarrow MI=MK\).
Vậy điểm M nằm trên đường trung trực của IK.

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{CB}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{BD}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CB}\)
\(=\overrightarrow{CB}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{O}=0.\)

Tính \(\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{5}}\left(3+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}\).
Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{2}\) ta có:
\(\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{5}}\left(3+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}\left(3+\sqrt{5}\right)}{\sqrt{20}+2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\left(3+\sqrt{5}\right)}{2\sqrt{5}+2}=\dfrac{\left(\sqrt{5}-1\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{2\left(\sqrt{5}+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2\left(3+\sqrt{5}\right)}{2\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)}\)\(=\dfrac{\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)}{2.4}=1\).

Bạn ơi, muốn chuyển đổi như vậy thì phải có dấu " = " chứ?