Đặt \(x=tant\) suy ra \(dx=\dfrac{dt}{cos^2t}\).
Đổi cận :
\(x=\sqrt{3}\Rightarrow t=arctan\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}\).
\(x=1\Rightarrow t=arctan1=\dfrac{\pi}{4}\).
\(\int\limits^{\sqrt{3}}_1\dfrac{1}{\left(x^2+1\right)^2}dx\)\(=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{dt}{\left(tan^2t+1\right)^2.cot^2t}=\)\(=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{cos^4t}{cos^2t}dt=\)\(=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}cos^2tdt=\)\(=\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{1}{2}\left(1+cos2t\right)dt=\)\(=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\right)\).

Ta có thể chứng minh được tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^o\).
Từ B kẻ đường thẳng song song với tia Ax cắt AC tại D.
Suy ra \(\widehat{xAC}=\widehat{BDC}\) (hai góc so le trong). (1)
Ta có \(\widehat{DBC}+\widehat{BDC}+\widehat{DCB}=180^o\).(2)
mà \(\widehat{yBC}=\widehat{ACB}+\widehat{xAC}\) (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra:
\(\widehat{yBC}+\widehat{DBC}=180^o\).
hay tia By nằm trên đường thẳng BD. Từ đó suy ra Ax // By.

Kéo dài hai tia Ox và Oy' cắt nhau tại M.
Do Oy // Oy' nên \(\widehat{yOM}=\widehat{OMO'}\) .
Do Ox // O'x' nên \(\widehat{OMO'}=\widehat{MO'x'}\).
Suy ra \(\widehat{yOM}=\widehat{MO'x'}\) hay \(\widehat{xOy}=\widehat{x'O'y'}\).

Nếu \(\sqrt{x}\) là một số hữa tỉ thì có phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản sao cho :
\(\sqrt{x}=\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow x=\dfrac{a^2}{b^2}\).
Do phân số \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản nên \(\left(a,b\right)=1\) (a và b là hai số nguyên tố cùng nhau) nên \(a^2\) và \(b^2\) cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giả sử ngược lại nếu \(a^2\) và \(b^2\) không là hai số nguyên tố cùng nhau. Gọi d là ước chung của \(a^2\) và \(b^2\) (d > 1).
Do \(a^2\) và \(b^2\) là hai số chính phương nên a, b cùng chia hết cho d (mâu thuẫn).
Vậy \(a^2\) và \(b^2\) cũng là hai số nguyên tố cùng nhau nên phân số \(\dfrac{a^2}{b^2}\) tối giản. Ta có điều phải chứng minh.

Nhận thấy nếu đa thức \(g\left(x\right)\) có nghiệm \(x=a\) thì đa thức \(g\left(x\right)\) có thể được viết thành \(g\left(x\right)=\left(x-a\right)f\left(x\right)\) . Từ đó suy ra đa thức \(g\left(x\right)\) chia hết cho đa thức \(x-a\).
Ngược lại nếu đa thức \(g\left(x\right)\) có thể biểu diễn dưới dạng \(g\left(x\right)=\left(x-a\right)f\left(x\right)\) thì \(g\left(x\right)\) có nghiệm \(x=a\).
Áp dụng vào bài toán ta có thay \(x=1\) vào \(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)^{10}-2\) ta có:
\(\left(1^2+1-1\right)^{10}+\left(1^2-1+1\right)^{10}-2=1+1-2=0\).
vậy \(x=1\) là nghiệm của \(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)^{10}-2\) nên :
\(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)^{10}-2=f\left(x\right)\left(x-1\right)\). (trong đó \(f\left(x\right)\) là đa thức có bậc dương).
Suy ra \(\left(x^2+x-1\right)^{10}+\left(x^2-x+1\right)^{10}-2\) chia hết cho \(x-1\).

Có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=2\Rightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=2^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\left(\dfrac{c+a+b}{abc}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2=4\) (do \(a+b+c=abc\))
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=2\). (đpcm).

Ta chứng minh \(n^2+n+1\) không chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n từ đó suy ra không có số tự nhiên n thỏa mãn \(n^2+n+1\) chia hết cho \(2015^{2018}\).
Thật vậy \(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\).
Ta có \(n\left(n+1\right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0, 2, 6.
Suy ra \(n\left(n+1\right)+1\) có tận cùng bằng 1, 3, 7 không chia hết cho 5.
Do \(n^2+n+1\) không chia hết cho 5 nên \(n^2+n+1\) cũng không chia hết cho \(2015^{2018}\).

\(\left(1+\dfrac{1}{2x}\right).lg3+lg2=lg\left(27-3^{\dfrac{1}{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow lg3^{1+\dfrac{1}{2x}}+lg2=lg\left(27-3^{\dfrac{1}{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow lg\left(2.3^{1+\dfrac{1}{2x}}\right)=lg\left(27-3^{\dfrac{1}{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow2.3^{1+\dfrac{1}{2x}}=27-3^{\dfrac{1}{x}}\)
\(\Leftrightarrow2.3.\left(3^{\dfrac{1}{x}}\right)^2=27-3^{\dfrac{1}{x}}\)
Đặt \(3^{\dfrac{1}{x}}=t\left(t>0\right)\) phương trình trở thành:
\(2.3t^2=27-t\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1=\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}\left(l\right)\\t_2=\dfrac{1+\sqrt{649}}{12}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(t=\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}\Leftrightarrow3^{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=log^{\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}}_3\)
\(\Leftrightarrow x=log^3_{\dfrac{-1-\sqrt{649}}{12}}\).