a) Giả sử \(n+4⋮n\) thì \(\frac{n+4}{n}\) là một số tự nhiên

Xét : \(\frac{n+4}{n}=1+\frac{4}{n}\) . Do đó, \(\frac{n+4}{n}\) là một số tự nhiên \(\Leftrightarrow\frac{4}{n}\) là một số tự nhiên \(\Leftrightarrow4⋮n\Rightarrow n\inƯ\left(4\right)\)

Vì n là số tự nhiên nên \(n\in\left\{1;2;4\right\}\)

Vậy \(n\in\left\{1;2;4\right\}\)

 Các câu còn lại làm tương tự câu a)

Gợi ý cho bạn : b)    \(\frac{5n-6}{n}=5-\frac{6}{n}\)

c) \(\frac{143-12n}{n}=\frac{143}{n}-12\) 

Các số tự nhiên không chia hết cho 5 sẽ có dạng : \(5k\pm1;5k\pm2\)  (k thuộc N)

Ta giả sử các số đó là \(a=5k+1,b=5k-1,c=5k-2,d=5k+2\)

\(\Rightarrow a+b+c+d=\left(5k+1\right)+\left(5k-1\right)+\left(5k-2\right)+\left(5k+2\right)=20k\)

Vì 20k chia hết cho 5 nên a + b + c + d chia hết cho 5 (đpcm)

Võ Đông Anh Tuấn giải đúng rồi ^^

Đề bài cần cho thêm điều kiện n là số tự nhiên nhé ^^

Từ A kẻ đường cao AH (H thuộc BC) , Từ B kẻ đường cao BK (K thuộc AC)

Ta có : \(sinA=\frac{BK}{AB}\) ; \(sinB=\frac{AH}{AB}\) ; \(sinC=\frac{AH}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{sinC}=\frac{AB}{\frac{AH}{AC}}=\frac{AB.AC}{AH}\) ; \(\frac{AC}{sinB}=\frac{AC}{\frac{AH}{AB}}=\frac{AB.AC}{AH}\)

\(\Rightarrow\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}\) (1)

Lại có : \(BK=sinC.BC\Rightarrow\frac{BC}{sinA}=\frac{BC}{\frac{BK}{AB}}=\frac{BC.AB}{BK}=\frac{AB.BC}{sinC.BC}=\frac{AB}{sinC}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có : \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\) (Đpcm)

Ta có ; \(x\left(x+5\right)=2\sqrt[3]{x^2+5x-2}-2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x-2\right)-2.\sqrt[3]{x^2+5x-2}+4=0\)

Đặt \(y=\sqrt[3]{x^2+5x-2}\) , phương trình trở thành : \(y^3-2y+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^3+8\right)-\left(2y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(y^2-2y+4\right)-2\left(y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(y^2-2y+2\right)=0\)

Vì \(y^2-2y+2=\left(y-1\right)^2+1>0\) với mọi y nên vô nghiệm.

Vậy y + 2 = 0 => y = -2

=> \(x^2+5x-2=-8\Leftrightarrow x^2+5x+6=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=-2\\x=-3\end{array}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{-3;-2\right\}\)

Ta có : \(2016a+bc=\left(a+b+c\right).a+bc=a^2+ab+ac+bc=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(2016b+ac=\left(a+b+c\right).b+ac=ab+b^2+bc+ac=b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

\(2016c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab=ac+bc+c^2+ab=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(2016a+bc\right)\left(2016b+ac\right)\left(2016c+ab\right)=\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\) (đpcm)

Đặt \(A=\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(\Rightarrow2A=\left(3-1\right)\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=...........................................\)

\(=\left(3^{32}-1\right)\left(3^{32}+1\right)=3^{64}-1\)

\(\Rightarrow A=\frac{3^{64}-1}{2}\)

Bài này làm đơn giản thế này thôi nhé Kia-K3 ^^

1) Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z 

Ta có : \(\begin{cases}x+y+z=36\\\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\end{cases}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{3+4+5}=\frac{36}{12}=3\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=3.3=9\\y=4.3=12\\z=5.3=15\end{cases}\) . 

2) Tương tự, ta cũng gọi các số đó là x,y,z

Theo đề bài : \(\begin{cases}x+y+z=480\\\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}\end{cases}\)

Cũng áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau , ta được \(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=\frac{x+y+z}{2+3+5}=\frac{480}{10}=48\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=48.2=96\\y=48.3=144\\z=48.5=240\end{cases}\)

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcde}\) với \(1\le a\le9;0\le b,c,d,e\le9\)

Theo đề bài , ta có : \(\overline{abcde1}=3.\overline{1abcde}\)

\(\Rightarrow10.\overline{abcde}+1=3.\left(100000+\overline{abcde}\right)\)

\(\Rightarrow7.\overline{abcde}=299999\Rightarrow\overline{abcde}=42857\)

Vậy số cần tìm là 42857.

Bài này tính ngược từ cuối lên:

Chiều dài tấm vải sau lần cắt thứ nhất là: \(4,5:\frac{15}{100}=30\)(m)

Chiều dài cả tấm vải là: \(30:\frac{2}{3}=45\)(m)