Trong họ đường tròn \(\left(C_m\right):x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m+2\right)y+6m+7=0\), hãy xác định đường tròn tiếp xúc với trục Oy.
\(x^2+y^2-8x-10y+25=0\) \(x^2+y^2-8x+10y+25=0\) \(x^2+y^2+8x-10y+25=0\) \(x^2+y^2+8x+10y+25=0\)Hướng dẫn giải:
Xác định tâm, bán kính của đường tròn \(\left(C_m\right)\) và khoảng cách từ tâm đường tròn tới Oy:
\(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m+2\right)y+6m+7=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-\left(m+1\right)\right)^2+\left(y-\left(m+2\right)\right)^2=2\left(m^2-1\right)\),
Với \(\left|m\right|>1\), đường tròn đã cho có tâm \(I\left(m+1;m+2\right)\), bán kính \(R=\sqrt{2\left(m^2-1\right)}\) . Khoảng cách từ I tới đường thẳng \(x=0\) (trục Oy) là \(\left|m+1\right|\).
Đường tròn sẽ tiếp xúc với Oy khi và chỉ khi \(\sqrt{2\left(m^2-1\right)}=\left|m+1\right|\Leftrightarrow2\left(m^2-1\right)=\left(m+1\right)^2\)\(\Leftrightarrow\)\(m=-1\)(loại); \(m=3\).
Với \(m=3,\) đường tròn là \(x^2+y^2-8x-10y+25=0\).
Đáp số: \(x^2+y^2-8x-10y+25=0\)
