Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=x^4-2mx^2+2m+m^4\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác đều.
\(m=-1\) \(m=2\) \(m=\sqrt[3]{3}\) \(m=\pm\sqrt[3]{3}\) Hướng dẫn giải:\(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)\)
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị, cần và đủ là \(y'\) có ba nghiệm phân biệt, hay là phương trình \(x^2-m=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0, suy ra \(m>0\).
Đảo lại, nếu \(m>0\) thì đồ thị có ba điểm cực trị là \(A\left(0;2m+m^4\right),B_{1,2}\left(\pm\sqrt{m};m^4-m^2+2m\right).\)Tam giác \(AB_1B_2\) cân tại \(A\) có đáy \(B_1B_2=2\sqrt{m},\)cạnh bên \(AB_1=\sqrt{m+m^4}\) nên để tam giác tạo thành là tam giác đều, cần và đủ là \(AB_1=B_1B_2\Leftrightarrow\sqrt{m+m^4}=2\sqrt{m}\Leftrightarrow m^4=3m\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{3}.\)
