Tìm các giá trị của tham số m để đường tròn (C): \(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m-2\right)y+3m+2=0\) đi qua gốc tọa độ O.
\(m=-\dfrac{2}{3}\). \(m=-4\). \(m=-2\). \(m=1\). Hướng dẫn giải:Điều kiện cần: Nếu m thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điểm O phải có tọa độ thỏa mãn phương trình
\(x^2+y^2-2\left(m+1\right)x-2\left(m-2\right)y+3m+2=0\) ,
tức là \(3m+2=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{2}{3}\).
Điều kiện đủ: Nếu \(m=-\dfrac{2}{3}\) thì phương trình đã cho trở thành
\(x^2+y^2-\dfrac{2}{3}x-2.\left(-\dfrac{8}{3}\right)y=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{8}{3}\right)^2=\dfrac{65}{9}\)
Phương trình này là phương trình đường tròn (qua gốc O ).
Đáp số: \(m=-\dfrac{2}{3}\).