Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a^2\) \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=a^2\sqrt{2}\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-a^2\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\) \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=a^2\) \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-a^2\) Hướng dẫn giải:Sử dụng công thức định nghĩa \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\left|\overrightarrow{v}\right|\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\) ta có
a) \(\widehat{A}=90^0\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=90^0\), \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\cos90^0=0\). Do đó \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)
b) \(\widehat{B}=\widehat{C}=45^0\Rightarrow\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=45^0,\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=135^0\)nên \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=BA.BC.\cos45^0=a.a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2\)
và \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a\sqrt{2}.\cos135^0=a.a\sqrt{2}.\dfrac{-\sqrt{2}}{2}=-a^2\)