Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là AC = 11, AB = 6, BC =8. Gọi H là trực tâm tam giác và M là trung điểm cạnh BC. Tính \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}\)
\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=12\) \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=16\) \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=22\) \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=-16\) Hướng dẫn giải:Do M là trung điểm của đoạn BC nên
\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),\overrightarrow{HM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)\)
Vì thế \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\left(-\overrightarrow{AM}\right)\left(-\overrightarrow{HM}\right)=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{HM}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)\)
Vì H là trực tâm nên \(HC\perp AB,HB\perp AC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0\), do đó
\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}\right)\)
Mà \(\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}\) . Tương tự
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\)
Do đó \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\right)=\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}.\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CB}=\dfrac{1}{4}CB^2=\dfrac{1}{4}.8^2=16\)