Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 11cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2cm và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 4cm. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.
Góc B là góc tù. \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-\dfrac{21}{2}\) Tam giác ABC là tam giác nhọn. \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=11\) \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=-\dfrac{7}{4}\) \(2MN^2=47\)Hướng dẫn giải:
a) Có \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\Rightarrow BC^2=\overrightarrow{BC}^2=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2=\overrightarrow{AC}+^2\overrightarrow{AB}^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=AC^2+AB^2-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\)
Do đó \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{AC^2+AB^2-BC^2}{2}=\dfrac{8^2+6^2-11^2}{2}=-\dfrac{21}{2}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{21}{2}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=AC.AB.\cos A\Rightarrow\cos A< 0\Rightarrow A\)là góc tù. Tam giác ABC là tam giác tù.
b) Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) nên \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}.\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{-21}{2}=-\dfrac{7}{4}\)
c) Tương tự a) ta có \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\dfrac{AM^2+AN^2-MN^2}{2}=\dfrac{2^2+4^2-MN^2}{2}\) Suy ra
\(-\dfrac{7}{4}=\dfrac{2^2+4^2-MN^2}{2}\Rightarrow2MN^2=47\)