Cho hình vuông ABCD cạnh a . Hãy tính giá trị của biểu thức \(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\left(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\).
\(a^2\sqrt{2}\) \(-a^2\sqrt{2}\) \(2a^2\) \(-2a^2\) Hướng dẫn giải:Theo quy tắc hiệu ta có \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}\). do đó
\(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\left(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{BC}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}\)
\(=\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{BD}\right|.\cos45^0+\left|\overrightarrow{BC}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|\)
\(=a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+a.a=2a^2\)
Vậy \(\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\left(2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\)\(=2a^2\).