Cho 3 điểm A(1;2), B(-3;1), \(C\left(-\dfrac{15}{7};\dfrac{25}{7}\right)\) . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác.
\(H\left(2;3\right)\) \(H\left(-2;3\right)\) \(C\left(-3;5\right)\) \(C\left(\dfrac{-2}{7};\dfrac{3}{7}\right)\) Hướng dẫn giải:Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{BC}=\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{18}{7}\right)=\dfrac{6}{7}\left(1;3\right),\overrightarrow{AC}=\left(-\dfrac{22}{7};\dfrac{11}{7}\right)=-\dfrac{11}{7}\left(2;-1\right)\). Hai vecto \(\overrightarrow{u}\left(1;3\right),\overrightarrow{v}\left(2;-1\right)\) không cùng phương suy ra \(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\) không cùng phương, do đó A, B, C không thẳng hàng và là 3 đỉnh của một tam giác.
Gọi \(H\left(x;y\right)\) thì \(\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y-2\right)\left(-3;1\right),\overrightarrow{BH}=\left(x+3;y-1\right)\)
Từ giả thiết H là trực tâm ABC suy ra
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right).\dfrac{6}{7}+\left(y-2\right).\dfrac{18}{7}=0\\\left(x+3\right).\left(-\dfrac{22}{7}\right)+\left(y-1\right).\dfrac{11}{7}=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=7\\-2x+y=7\end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên ta được \(x=-2;y=3\)
Đáp số: \(H\left(-2;3\right)\)
