Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

để (m-1)x^2-2(m+1)x+3(m-2)>0 với mọi x thuộc R thì

m-1>0 => m>1 (1)

và (m+1)^2-3(m-2)(m-1)<0 (2)

sau đó e giải phương trình 2 và đối chiếu điều kiện với phương trình 1 ta đc điều kiện của m

\(3x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+4x+1\right)\)

TL:

Hàm số trên có thể phân tích thành: f(x) = x + \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{1-x}\) = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(x+x+\frac{1}{x^2}\right)+\left(2\left(1-x\right)+\frac{1}{1-x}\right)-2\)

Áp dụng định lý Cô si ta có: f(x) \(_{ }\ge\) 2 + 3 + 2\(\sqrt{2}\) - 2 = 3 + 2\(\sqrt{2}\)

Suy ra: Min(f) = 3 + 2\(\sqrt{2}\)

2 cai bang nhau

Lời giải:

Ta có:

$a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0$ với mọi $a\geq 0; b\geq 0$

$\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)

\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)

b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác có a+b>c

                                                            <=>ac+bc > c^{2  (c>0)}

<=>a+b
   Tương tự có:ab+cb>b²    ac+ab >a²ab+bc>b2,ac+ab>a2

Cộng các bất đẳng thức trên ra điều phải chứng minh

2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ac)<a²+b²+c²<=>2(a²+b²+c²)>a²+b²+c² (dpcm)

a: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2\)

b: Vì a,b là các số trái dấu nên a/b<0 và b/a<0

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=-\left(-\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}\right)\le-2\cdot\sqrt{\dfrac{-a}{b}\cdot\dfrac{-b}{a}}=-2\)

f(x) = -x² + 2x + 15

Đồ thị hàm số là parabol quay xuống dưới, đỉnh parabol tại điểm (1,16), parabol cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ là -3 và 5 (bạn tự vẽ hình)

Nhìn vào đồ thị suy ra giá trị lớn nhất của f(x) trong [-3,5] là 16 (khi x = 1) và giá trị nhỏ nhất là 0 (khi x = -3 hoặc x=5)

Áp dụng bdt cosi:

\(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^4}{b}.\frac{b^4}{c}.\frac{c^4}{a}}=3abc\)