Hỏi đáp
cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=3
chứng minh $\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}\ge1$a3b(2c+a) +b3c(2a+b) +c3a(2b+c) ≥1
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì
\(\left(ab(2c+a)+bc(2a+b)+ca(2b+c)\right)\left(\dfrac{a^4}{ab(2c+a)}+\dfrac{b^4}{bc(2a+b)}+\dfrac{c^4}{ca(2b+c)}\right)\geq (a^2+b^2+c^2)^2\)
Do đó \(VT\geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+6abc}\)
Ta có \(3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}, 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\)
và \(2a^2b\leq a^2b^2+a^2,...\Rightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+(a^2+b^2+c^2)\)
Mà \(3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq (a^2+b^2+c^2)^2\) và \(3(a^2+b^2+c^2)\leq (a^2+b^2+c^2)^2\)
nên ta suy ra đpcm
cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1
chứng minh $\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\frac{1}{2}$bc√a+bc +ac√b+ac +ab√c+ab ≤12
\(VT=\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{b\left(a+b+c\right)+ac}}+\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)
\(VT=\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{a^2+ab+ac+bc}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{ab+b^2+bc+ca}}+\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{ca+bc+c^2+ab}}\)
\(VT=\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\dfrac{\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{c+b}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ca}{a+b}\right)+\left(\dfrac{ca}{b+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)+\left(\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ab}{c+a}\right)}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left[\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]+\left[\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right]+\left[\dfrac{b\left(c+a\right)}{c+a}\right]}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\dfrac{ac}{\sqrt{b+ca}}+\dfrac{ab}{\sqrt{c+ab}}\le\dfrac{1}{2}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
khó thế thằng lớp 1 con giải đưc nũa nè
Cần điều chế 33,6g Fe bằng cách dùng CO khử Fe3O4
a) Viết pthh
b) Tính khối lượng Fe3O4 cần dùng
c) Tính thể tích CO đã dùng (đktc)
\(f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{2}{1-x}\). Tìm giá trị lớn nhất(áp dụng bđt Cauchy
lập bảng xét dấu của các biểu thức : a) \(\frac{4-3x}{2x+1}\) ; b) 1- \(\frac{2-x}{3x-2}\) ; c) x(x-2)2(3-x) ; d) \(\frac{x\left(x-3\right)^2}{\left(x-5\right)\left(1-x\right)}\)
phân tích các đa thức sau thành nhân tử rồi xét dấu : a) -x2 + x + 6 ; b) 2x2 + (2 - \(\sqrt{3}\) )x + \(\sqrt{3}\)
a: \(-x^2+x+6=-\left(x^2-x-6\right)=-\left(x-3\right)\left(x+2\right)\)
Câu b không phân tích được nhé bạn
giải các hệ bất phương trình : a) (x - 3)( \(\sqrt{2}\) - x)>0 và \(\frac{4x-3}{2}\) < x+3 ; b) \(\frac{2}{2x-1}\) <= \(\frac{1}{3-x}\) và giá trị tuyệt đối của x > 1
giải và biện luận các phương trình : a) mx + 4 > 2x + m2 ; b) 2mx + 1 >= x + 4m2 ; c) x(m2 - 1) < m4 - 1 ; d) 2(m + 1)x <= (m + 1)2 (x - 1)
giải và biện luận các bất phương trình : a) (2x - \(\sqrt{2}\) )(x - m) > 0 ; b) \(\frac{\sqrt{3}-x}{x-2m+1}\) <= 0
tìm nghiệm nguyên của mỗi hệ bất phương trình sau : a) 6x + \(\frac{5}{7}\) > 4x + 7 và \(\frac{8x+3}{2}\) < 2x + 25 ; b) 15x - 2 > 2x + \(\frac{1}{3}\) và 2(x - 4) < \(\frac{3x-14}{2}\)
giải và biện luận các hệ bất phương trình : a) (x - \(\sqrt{5}\) )( \(\sqrt{7}\) - 2x ) > 0 và x - m <= 0 ; b) \(\frac{2}{x-1}\)< \(\frac{5}{2x-1}\) và x - m >= 0
