Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}\) 

Do B. M, C thẳng hàng theo thứ tự, nên tồn tại n, p > 0 sao cho \(\overrightarrow{AM}=n\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}\) với \(n+p=1\)

Từ đó, do tứ giác ANMP là hình bình hành, nên \(\overrightarrow{AP}=p\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{c}\)

Do B, O, N thẳng hàng và C, O, P thẳng hàng nên 

\(\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{b}+ny\overrightarrow{c}=z\overrightarrow{c}+pt\overrightarrow{b}\)

trong đó \(x+y=1=z+t\)

Từ đó, do hai vectơ \(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không cùng phương nên \(x=\frac{p\left(1-n\right)}{1-np}\) và \(y=\frac{1-p}{1-np}\)

Do đó :

\(\overrightarrow{AO}=\frac{p\left(1-n\right)}{1-np}.\overrightarrow{b}+\frac{n\left(1-p\right)}{1-np}.\overrightarrow{c}\)

Suy ra :

\(\left(1-np\right).\overrightarrow{OM}=\left(1-np\right)\left(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AO}\right)=np\left(1-p\right)\overrightarrow{b}+np\left(1-n\right)\overrightarrow{c}\)

\(\Rightarrow\frac{1-np}{np}.\overrightarrow{OM}=\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)-\left(n\overrightarrow{c}+p\overrightarrow{b}\right)\)

Hay

\(\overrightarrow{AM}=np\overrightarrow{AD}+\left(1-np\right)\overrightarrow{AO}\)

Trong đó D là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) Từ đó, đường thẳng OM luôn đi qua D cố định (D là đỉnh thứ tư của hình bình hàng ABDC)

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}\). Khi đó, do giả thiết ta có \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{m}.\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{m+1}.\overrightarrow{c}\)

Suy ra \(\left(m+1\right)\overrightarrow{AN}-m\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\)

Với D là đỉnh thứ 4 của hình bình hàng ABCD, từ đó suy ra MN luôn đi qua điểm D cố định

Từ giả thiết suy ra với mọi O đều có ?

\(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\)  và  \(\overrightarrow{OG_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}_1+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC}_1\right)\)

Mà :

\(\overrightarrow{OG_2=}\frac{1}{3}.\left(\overrightarrow{OGa}+\overrightarrow{OG_b}+\overrightarrow{OG_c}\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OA_1}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}\right)\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC}_1\right)\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\overrightarrow{OG}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OG_1}\)

Suy ra :

\(3\overrightarrow{OG_2}=\overrightarrow{OG}+2\overrightarrow{OG_1}\)  với mọi O. Điều này có nghĩa là \(G,G_1,G_2\) thẳng hàng => Điều phải chứng minh

Gọi \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) theo thứ tự  là vec tơ chỉ phương đơn vị của các tia Ox, Oy, tương ứng cùng hướng với các tia Ox, Oy gọi I là tâm của \(\omega\). Chọn O làm gốc vec tơ điểm và với mỗi điểm X của mặt phẳng, ký hiệu \(\overrightarrow{x}\) để chỉ vec tơ \(\overrightarrow{OX}\). Trung trực OA cắt các đường thẳng \(d_1,d_2\) theo thứ tự tại B, C.

Khi đó B, C cố định và do I nằm trên đường thẳng BC nên \(\overrightarrow{i}=\alpha\overrightarrow{b}+\left(1-\alpha\right)\overrightarrow{c}\)

Mặt khác , theo định lí chiếu ta có :

\(\overrightarrow{m}=2\left(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{n}=2\left(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{v}\right).\overrightarrow{v}\)

Gọi P là trung điểm MN. Suy ra \(2\overrightarrow{p}=\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n}\). Bởi vậy, với \(b=OB,c=OC\) và \(t=\cos<\left(\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}\right)\) thì b, c, t là các hằng số và :

\(\overrightarrow{p}=\left[\alpha.\overrightarrow{b}\overrightarrow{u}+\left(1-\alpha\right).\overrightarrow{c}.\overrightarrow{u}\right].\overrightarrow{u}+\left[\alpha.\overrightarrow{b}\overrightarrow{v}+\left(1-\alpha\right).\overrightarrow{c}.\overrightarrow{v}\right].\overrightarrow{v}\)

     \(=\alpha.b\left(\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}\right)+\left(1-\alpha\right).c\left(t\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\)

     \(=\alpha\overrightarrow{x}+\left(1-\alpha\right)\overrightarrow{y}\)

Trong đó \(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OX}=b\left(\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}\right)\) và \(\overrightarrow{y}=\overrightarrow{OY}=c\left(t\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\) là các vec tơ cố định

Suy ra P luôn nằm trên đường thẳng XY cố định khi \(\omega\) thay đổi

Do \(\frac{BM}{MB'}=\frac{CN}{ND}\) nên   \(\frac{BM}{BB'}=\frac{CN}{CD}=t\)  với \(t\in\left(0;1\right)\) nào đó

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}\)

Khi đó : 

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=\left(1-t\right)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)

      \(=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'J}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

Suy ra :

\(\overrightarrow{MN}=-t.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-t.\overrightarrow{c}\) ; \(\overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-t\overrightarrow{c}\) và \(\overrightarrow{MJ}=-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\left(1-t\right).\overrightarrow{c}\)

Từ đó, do 

\(-t.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-t.\overrightarrow{c}=\left(2-t\right).\left(\frac{1}{2}.\overrightarrow{b}-t.\overrightarrow{c}\right)+t.\left(-\overrightarrow{a}\right)+\frac{1}{2}.\overrightarrow{b}+\left(1-t\right).\overrightarrow{c}\)

Nên :

\(\overrightarrow{MN}=\left(2-t\right).\overrightarrow{MI}+t.\overrightarrow{MJ}\)

Suy ra M, N, I, J đồng phẳng

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}\) khi đó

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'N}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{B'P}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

Do \(c\frac{2}{3}.\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{c}\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)

Nên \(3\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AN}\)

Suy ra A, M, N, P đồng phẳng

Gọi D là đỉnh thức tư của hình bình hành ABDC. Khi đó, O, M, D thẳng hàng.

Do giả thiết nên DB//MP, DC//MN. Từ đó, do O, M, D thẳng hàng, nên góc PMO = góc OMN <=> OM là phân giác góc PMN <=> DM là phân giác góc BDC

\(\Leftrightarrow\frac{MB}{MC}=\frac{DB}{DC}\)

Nhưng tứ  giác ABDC là một hình bình hành nên BD = AC, CD = AB

do đó : \(\frac{DB}{DC}=\frac{AC}{AB}\)

Vì vậy :

góc PMO bằng góc OMN   \(\Leftrightarrow\frac{MB}{MC}=\frac{AC}{AB}\)

Vậy với M là điểm trên cạnh BC sao cho \(\frac{MB}{MC}=\frac{AC}{AB}\)  (hay M đối xứng với chân phân giác trong góc BAC qua trung điểm cạnh BC) thì góc PMO bằng góc OMN => Điều cần chứng minh

Ta có \(\frac{MA}{MB}=k\Leftrightarrow MA^2=k^2MB^2\Leftrightarrow\overrightarrow{MA^2}=k^2\overrightarrow{MB^2}\)

                       \(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}-k\overrightarrow{MB}\right)\left(\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}\right)=0\)

Gọi P, Q là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{MQ}=0\Leftrightarrow MP\perp MQ\)

Từ đó suy ra tập hợp tất cả các điểm M cần tìm là đường tròn đường kính PQ

* Với k=1,quỹ tích cần tìm là đường trung trực (tương ứng mặt phẳng trung trực, với bài toàn trong không gian) của đoạn thẳng AB

* Đường tròn tìm được trong bài trên được gọi là đường tròn Apolonius

* Với bài toàn ở trong không gian, tương tự như vậy, ta cũng thu được quỹ tích là mặt cầu đường kính PQ, và mặt cầu đó cũng được gọi là mặt cầu Apolpnius

Đặt \(\overrightarrow{DA}=\)\(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}\) với \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=a\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=\frac{a^2}{2}\) như hình vẽ

Do M là trung điểm AB nên  \(\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)

do đó  \(\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)

Xét điểm \(N\in AC\), giả sử \(\overrightarrow{NA}=t.\overrightarrow{NC}\), \(t\ne1\). Khi đó \(\overrightarrow{DN}=\frac{\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{c}}{1-t}\)

Vậy \(DN\perp CM\Rightarrow\overrightarrow{DN}.\overrightarrow{CM}=0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)\left(\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{c}\right)=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\)

Từ đó , với \(N\in AC\) mà \(\overrightarrow{NC}=-2\overrightarrow{NA}\) thì \(DN\perp CM\) và khi đó  

\(\overrightarrow{DN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\)

Giả sử  UV là đoạn vuông góc chung của CM, DN với \(U\in CM,V\in DN\) và \(\overrightarrow{CU}=u\overrightarrow{CM}=\frac{u}{2}.\overrightarrow{a}+\frac{u}{2}.\overrightarrow{b}-u.\overrightarrow{c},\overrightarrow{DV}=v.\overrightarrow{DN}=\frac{2v}{3}.\overrightarrow{a}+\frac{v}{3}.\overrightarrow{c}\)

Từ đó suy ra 

\(\overrightarrow{UV}=\overrightarrow{DV}-\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CU}\right)\)

        \(=\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)\overrightarrow{a}-\frac{u}{2}\overrightarrow{b}+\left(\frac{v}{3}+u-1\right)\overrightarrow{c}\)

Điều kiện \(\overrightarrow{UV}.\overrightarrow{CM}=0\) tương đương với :

\(\frac{1}{2}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{4}-\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)+\frac{u}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)=0\)

Từ đó ta thu được \(u=\frac{2}{3}\)

Điều kiện \(\overrightarrow{UV}.\overrightarrow{DN}=0\) tương đương với :

\(\frac{2}{3}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{6}+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{2v}{3}-\frac{u}{2}\right)-\frac{u}{12}+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{3}+u-1\right)=0\)

Từ đó ta thu được \(v=\frac{6}{7}\)

Khi đó, \(\overrightarrow{UV}=\frac{5}{21}\overrightarrow{a}-\frac{7}{21}\overrightarrow{b}-\frac{1}{21}\overrightarrow{c}=\frac{1}{21}\left(5\overrightarrow{a}-7\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\)

Suy ra \(d\left(CM,DN\right)=UV=\sqrt{\left|\overrightarrow{UV}\right|^2}=\frac{a\sqrt{42}}{21}\)

Từ \(2\overrightarrow{ỊJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\) suy ra 

\(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4IJ^2\Leftrightarrow CB^2+DA^2=CA^2+DB^2+2AB^2.CD^2\)

                                                \(\Leftrightarrow2.\overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}=AD^2-AC^2+BC^2-BD^2\)