Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Hê hê :)) Bài dễ này :v

Ta có:

a + b = 12 ( S )

a.b = -85 ( P )

Vậy a ; b sẽ là nghiệm của phương trình:

\(x^2-Sx+P=0\)

\(x^2-12x-85=0\)

\(\Rightarrow x_1=17\)

\(x_2=-5\)

Vậy..............

a+b=12 --> a=12-b

(12-b).b=-85--> b² -12b -85=0

--> b₁=17; b₂=-5

b₁=17 --> a₁= -5

b₂=-5 --> a₂= 17

Ta có a.b = -85 (1)

a+b=12 <=>a=12-b(2)

Thay (2) vào (1) ta có : (12-b)b=-85

<=>12b-b²=-85

<=>-b²+12b+85=0

<=>(b+5)(b-17)=0

<=>\(\left[{}\begin{matrix}b=-5\\b=17\end{matrix}\right.\)

Nếu b=-5 thì a=17

Nếu b=17 thì a=-5

Vậy .....

ta có:\(P=\sum\dfrac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}=\sum\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\)

đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)thì giả thiết trở thành : \(a^2+b^2+c^2=1\).tìm Min \(P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{a^2+c^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\)

ta có:\(\dfrac{a}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{1-a^2}=\dfrac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy:

\(\left[a\left(1-a^2\right)\right]^2=\dfrac{1}{2}.2a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a^2+1-a^2+1-a^2\right)^3=\dfrac{4}{27}\)

\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

tương tự với các phân thức còn lại ta có:

\(P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\\\dfrac{1}{z}=c\end{matrix}\right.\) Thì bài toán trở thành

Cho \(a^2+b^2+c^2=1\) tính GTNN của \(P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=1-c^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{a^2+b^2}=\dfrac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)

Mà ta có: \(2c^2\left(1-c^2\right)\left(1-c^2\right)\le\dfrac{\left(2c^2+1-c^2+1-c^2\right)^3}{27}=\dfrac{8}{27}\)

\(\Rightarrow c\left(1-c^2\right)\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\ge\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{c}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{2}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{c^2+a^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}b^2}{2}\left(2\right)\\\dfrac{a}{b^2+c^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Chuẩn hóa chuẩn hóa, thuần nhất như sau

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\) ta tìm được \(P=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)

Ta chứng minh nó là GTNN của \(P\)

\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}}\)

\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{y^3z^3}{y^2+z^2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3x^4y^4z^4}{x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2}}\). Cho \(\left(yz;xz;xy\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)

Khi đó ta cần chứng minh \(Σ\dfrac{a^3}{\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2}}\)

\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}}\) từ BĐT cuối thuần nhất ta có thể chuẩn hóa \(a^2+b^2+c^2=3\)

Nghĩa là ta cần c/m \(Σ\dfrac{a}{3-a^2}\ge\dfrac{3}{2}\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{a}{3-a^2}-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{\left(a-1\right)\left(a+3\right)}{3-a^2}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\left(\dfrac{\left(a-1\right)\left(a+3\right)}{\left(3-a^2\right)}-\left(a^2-1\right)\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ\dfrac{a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2}{3-a^2}\ge0\). Done !!

Áp dụng hằng đẳng thức a²+b²\(\ge\)2ab

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b

=>x²+4\(\ge\)4x

y²+4\(\ge\)4y

2x²+2y²\(\ge\)4xy

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2\\\sqrt{2x^2}=\sqrt{2y^2}\end{matrix}\right.\)<=>x=y=2

Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được:

3x²+3y²+8\(\ge\)4(x+y+xy)=4.8=32

=>3(x²+y²)\(\ge\)24

<=>x²+y²\(\ge\)8

=>Min P=8 khi x=y=2

Vậy...

ko

tôi ở trái đất nè

ở Mỹ ...................................................... tho

a: Xét (O) có

TA là tiếp tuyến

TB là tiếp tuyến

Do đó: TA=TB

mà OA=OB

nên OT là đường trung trực của AB

=>OT\(\perp\)AB(1)

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>AB\(\perp\)AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OT//AC

b: Vì OT là đường trung trực của AB nên DA=DB

Xét ΔOAD có OA=OD

nên ΔOAD cân tại O

mà góc AOD=60 độ

nên ΔAOD đều

=>OA=AD=DB=OB

=>OADB là hình thoi

Ta có \(a^4+b^4-2ab^3-2a^3b+2a^2b^2\) =(a²-ab)²+(b²-ab)²\(\ge0\forall a;b\) suy ra

\(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

a⁴+b⁴ \(\ge\)ab(a+b) (1)

1/2 (a⁴+b⁴)\(\ge\)a²b². (2)

(1) -(2)

=>dpcm

dùng thuật toán oclit ( vô số nghiệm đó )

\(4x+7y=15\)

\(\Rightarrow4x=15-7y\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{15}{4}-\dfrac{7}{4}y\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{15}{4}-\dfrac{7}{4}y\) (y \(\in\) R)

Bác triển tiếp đi...

Câu 1 nè

\(\sqrt{11}+6\sqrt{2}-3+\sqrt{2}=\sqrt{11}+7\sqrt{2}-3.\)

Câu 2 nè :

a) đề không rõ.

b) \(\sqrt{75.48}=\sqrt{25.16.3^2}=5.4.3=60\)

a) \(\sqrt{72}+\dfrac{2}{5}\cdot\sqrt{50}-\sqrt{242}\)

\(=6\sqrt{2}+2\sqrt{2}-11\sqrt{2}\)

\(=-3\sqrt{2}\)

b) \(5\sqrt{32}-7\sqrt{50}+2\sqrt{98}-3\sqrt{72}\)

\(=20\sqrt{2}-35\sqrt{2}+14\sqrt{2}-18\sqrt{2}\)

\(=-19\sqrt{2}\)

c) \(-5\sqrt{18}+2\sqrt{45}-7\sqrt{20}+3\sqrt{72}\)

\(=-15\sqrt{2}+6\sqrt{5}-14\sqrt{5}+18\sqrt{2}\)

\(=3\sqrt{2}-8\sqrt{5}\)

d) \(\dfrac{1}{3}\sqrt{27}+\sqrt{12}-\dfrac{4}{5}\sqrt{75}-\dfrac{1}{2}\sqrt{147}\)

\(=\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}-\dfrac{7\sqrt{3}}{2}\)

\(=-\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\)

e) \(9\sqrt{54}+2\sqrt{112}-4\sqrt{252}+3\sqrt{96}\)

\(=24\sqrt{6}+8\sqrt{7}-24\sqrt{7}+12\sqrt{6}\)

\(=39\sqrt{6}-16\sqrt{7}\)

f) \(4\sqrt{12}+2\sqrt{75}-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}+\sqrt{147}\)

\(=8\sqrt{3}-10\sqrt{3}-3\sqrt{3}-7\sqrt{3}\)

\(=-12\sqrt{3}\)

g) \(\dfrac{1}{2}\sqrt{200}+\sqrt{18}-2\sqrt{8}+6\sqrt{6}\)

\(=5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}+6\sqrt{6}\)

\(=4\sqrt{2}+6\sqrt{6}\)

g)\(\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{100\cdot2}+\sqrt{9\cdot2}-2\cdot\sqrt{4\cdot2}+6\sqrt{6}=5\cdot\sqrt{2}+3\cdot\sqrt{2}-4\cdot\sqrt{2}+6\sqrt{6}=4\cdot\sqrt{2}+6\cdot\sqrt{6}\)